octal - 八进制数方程

Question

所以我正在读一本关于如何将二进制位转换为八进制数的书。当试图解释这个概念时，他们给出了这个等式

N= S(...((d8)2^8+(d7)2^7+(d6)2^6)+((d5)2^5+(d4)2^4+(d3)2^ 3)+((d2)2^2+(d1)2^1+d0))

或者

N= S(...((d8)2^2 +(d7)2+(d6))2^6 + ((d5)2^2 +(d4)2^1 + (d3))2^3 + ((d2)2^2+(d1)2^1+d0))

d 表示在位中找到的数字，例如，如果最低有效位为 1，则 (d0) 将为 1。

我理解所有这些，但他们进一步详细说明括号表达式 ((d8)2^2 +(d7)2+(d6)) 是基数 8 位的系数，N=S((d2)8^2+ (d1)*8+(d0))。

有人可以解释括号中的表达式是 base8 数字的系数是什么意思吗？

Answer 1

数字d _i是数字的二进制数字。我们可以从它的二进制数字中计算出这个数字，如下所示：

    n = ∑ _i 2 ⁱ d _i = 2 ⁰ d ₀ + 2 ¹ d ₁ + 2 ² d ₂ + ⋯

（这实际上是定义“二进制”的原因，如果我们添加数字是整数并且 0 ≤ d _i < 2 对于所有i的条件。）

假设我们命名数字o _j的八进制数字。我们可以像这样从它的八进制数字计算数字：

    n = ∑ _j 8 ^j o _j = 8 ⁰ o ₀ + 8 ¹ o ₁ + 8 ² o ₂ + ⋯

（这就是“八进制”的定义，如果我们添加数字是整数并且 0 ≤ o _j < 8 对于所有j的条件。）

现在让我们回顾一下二元方程。第一步是最棘手的。我们将更改下标的使用方式，以便求和的每个项使用三个二进制数字：

    n = ∑ _j 2 ^{3 j + 0} d _{3 j + 0} + 2 ^{3 j + 1} d _{3 j + 1} + 2 ^{3 j + 2} d _{3 j + 2}

说服自己该方程计算的n与我给出的第一个方程相同。

我假设您知道x ^{a + b} = x ^a x ^b。所以我们可以像这样分离这 2 ^{3 j + b}系数：

    n = ∑ _j (2 ^{3 j} 2 ⁰ ) d _{3 j + 0} + (2 ^{3 j} 2 ¹ ) d _{3 j + 1} + (2 ^{3 j} 2 ² ) d _{3 j + 2}

然后我们可以像这样分解出 2 ^{3 j}项：

    n = ∑ _j 2 ^{3 j} (2 ⁰ d _{3 j + 0} + 2 ¹ d _{3 j + 1} + 2 ² d _{3 j + 2} )

我假设您也知道x ^{a b} = ( x ^a ) ^b。所以我们可以像这样拆分 2 ^{3 j}项：

    n = ∑ _j (2 ³ ) ^j (2 ⁰ d _{3 j + 0} + 2 ¹ d _{3 j + 1} + 2 ² d _{3 j + 2} )

^{我们可以将 2 3}简化为 8：

    n = ∑ _j 8 ^j (2 ⁰ d _{3 j + 0} + 2 ¹ d _{3 j + 1} + 2 ² d _{3 j + 2} )

将此与从八进制数字计算数字的公式进行比较，我在此重复：

    n = ∑ _j 8 ^j o _j

所以我们可以得出这样的结论：

    o _j = 2 ⁰ d _{3 j + 0} + 2 ¹ d _{3 j + 1} + 2 ² d _{3 j + 2}

例如，让我们取j = 2：

    o ₂ = 2 ⁰ d _{3×2 + 0} + 2 ¹ d _{3×2 + 1} + 2 ² d _{3×2 + 2} = 2 ⁰ d ₆ + 2 ¹ d ₇ + 2 ² d ₈