python - 查找两个椭圆的交点（Python）

Question

我正在用 Python 编写一个基本的 2D 形状库（主要用于处理 SVG 绘图），我不知道如何有效地计算两个椭圆的交点。

每个椭圆由以下变量（所有浮点数）定义：

c: center point (x, y)
hradius: "horizontal" radius
vradius: "vertical" radius
phi: rotation from coordinate system's x-axis to ellipse's horizontal axis

忽略椭圆相同时，可能有 0 到 4 个相交点（无相交、相切、部分重叠、部分重叠和内部相切以及完全重叠）。

我找到了一些潜在的解决方案：

• SymPy 几何模块- 这基本上只是将椭圆方程插入 SymPy 的求解器。如果没有求解器，我不确定这是否有意义。（顺便说一句，我会使用 SymPy 而不是自己滚动，但它在处理疯狂的浮动时表现得很糟糕）
• 如何检测椭圆是否与圆相交（碰撞） - 这可能适用于两个椭圆，但我对如何将其变成合理的代码有点模糊。
• 椭圆如何与椭圆相交？- 答案引用的库（CADEMIA）可能有一个很好的算法，但我什至不知道它是否是开源的。
• Wikipedia: Intersecting Two Conics - 我没有足够的线性代数来理解这个解决方案。

关于我应该如何计算交叉点的任何建议？速度（可能需要计算很多交叉点）和优雅是主要标准。代码会很棒，但即使是一个好的方向也会有所帮助。

Answer 1

在数学中，您需要将椭圆表示为二元二次方程，然后求解。我找到了一份文件。所有的计算都在文档中，但是在 Python 中实现它可能需要一段时间。

所以另一种方法是将椭圆近似为折线，并使用 shapely 来找到交点，代码如下：

import numpy as np
from shapely.geometry.polygon import LinearRing

def ellipse_polyline(ellipses, n=100):
    t = linspace(0, 2*np.pi, n, endpoint=False)
    st = np.sin(t)
    ct = np.cos(t)
    result = []
    for x0, y0, a, b, angle in ellipses:
        angle = np.deg2rad(angle)
        sa = np.sin(angle)
        ca = np.cos(angle)
        p = np.empty((n, 2))
        p[:, 0] = x0 + a * ca * ct - b * sa * st
        p[:, 1] = y0 + a * sa * ct + b * ca * st
        result.append(p)
    return result

def intersections(a, b):
    ea = LinearRing(a)
    eb = LinearRing(b)
    mp = ea.intersection(eb)

    x = [p.x for p in mp]
    y = [p.y for p in mp]
    return x, y

ellipses = [(1, 1, 2, 1, 45), (2, 0.5, 5, 1.5, -30)]
a, b = ellipse_polyline(ellipses)
x, y = intersections(a, b)
plot(x, y, "o")
plot(a[:,0], a[:,1])
plot(b[:,0], b[:,1])

和输出：

在我的电脑上大约需要 1.5 毫秒。

Answer 2

看着sympy我认为它有你需要的一切。（我试图为您提供示例代码；不幸的是，我在使用 gmpy2 而不是无用的 python 内置数学安装 sympy 时失败了）

你有 ：

• 一个带旋转方法的椭圆，可以与其他椭圆相交
• 或者一个任意的交集函数，它采用可变数的......他们称之为“几何实体”。

从他们的例子中，我认为绝对有可能使两个椭圆相交：

>>> from sympy import Ellipse, Point, Line, sqrt
>>> e = Ellipse(Point(0, 0), 5, 7)
...
>>> e.intersection(Ellipse(Point(1, 0), 4, 3))
[Point(0, -3*sqrt(15)/4), Point(0, 3*sqrt(15)/4)]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(5, 0), 4, 3))
[Point(2, -3*sqrt(7)/4), Point(2, 3*sqrt(7)/4)]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(100500, 0), 4, 3))
[]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(0, 0), 3, 4))
[Point(-363/175, -48*sqrt(111)/175), Point(-363/175, 48*sqrt(111)/175),
Point(3, 0)]
>>> e.intersection(Ellipse(Point(-1, 0), 3, 4))
[Point(-17/5, -12/5), Point(-17/5, 12/5), Point(7/5, -12/5),
Point(7/5, 12/5)] 

编辑：由于 sympy 不支持通用椭圆 (ax^2 + bx + cy^2 + dy + exy + f)，

您应该自己构建方程并对其进行转换，并使用它们的求解器来查找交点。

Answer 3

您可以使用此处显示的方法： https ://math.stackexchange.com/questions/864070/how-to-determine-if-two-ellipse-have-at-least-one-intersection-point/864186#864186

首先，您应该能够在一个方向上重新缩放椭圆。为此，您需要将椭圆的系数计算为圆锥截面，重新缩放，然后恢复椭圆的新几何参数：中心、轴、角度。

然后你的问题减少到找到从椭圆到原点的距离。要解决最后一个问题，您需要一些迭代。这是一个可能的自包含实现......

from math import *

def bisect(f,t_0,t_1,err=0.0001,max_iter=100):
    iter = 0
    ft_0 = f(t_0)
    ft_1 = f(t_1)
    assert ft_0*ft_1 <= 0.0
    while True:
        t = 0.5*(t_0+t_1)
        ft = f(t)
        if iter>=max_iter or ft<err:
            return t
        if ft * ft_0 <= 0.0:
            t_1 = t
            ft_1 = ft
        else:
            t_0 = t
            ft_0 = ft
        iter += 1

class Ellipse(object):
    def __init__(self,center,radius,angle=0.0):
        assert len(center) == 2
        assert len(radius) == 2
        self.center = center
        self.radius = radius
        self.angle = angle

    def distance_from_origin(self):
        """                                                                           
        Ellipse equation:                                                             
        (x-center_x)^2/radius_x^2 + (y-center_y)^2/radius_y^2 = 1                     
        x = center_x + radius_x * cos(t)                                              
        y = center_y + radius_y * sin(t)                                              
        """
        center = self.center
        radius = self.radius

        # rotate ellipse of -angle to become axis aligned                             

        c,s = cos(self.angle),sin(self.angle)
        center = (c * center[0] + s * center[1],
                  -s* center[0] + c * center[1])

        f = lambda t: (radius[1]*(center[1] + radius[1]*sin(t))*cos(t) -
                       radius[0]*(center[0] + radius[0]*cos(t))*sin(t))

        if center[0] > 0.0:
            if center[1] > 0.0:
                t_0, t_1 = -pi, -pi/2
            else:
                t_0, t_1 = pi/2, pi
        else:
            if center[1] > 0.0:
                t_0, t_1 = -pi/2, 0
            else:
                t_0, t_1 = 0, pi/2

        t = bisect(f,t_0,t_1)
        x = center[0] + radius[0]*cos(t)
        y = center[1] + radius[1]*sin(t)
        return sqrt(x**2 + y**2)

print Ellipse((1.0,-1.0),(2.0,0.5)).distance_from_origin()