我试图理解Matlab中的双精度数。为什么这个 1 - 3*(4/3 - 1) 不等于零?
3 回答
实数 4/3 不能以双精度(或任何其他二进制浮点格式)表示,因为它不是二元有理数。因此,当您4/3
在 MATLAB 中进行计算时,您得到的值会四舍五入为最接近的可表示双精度数,即:
1.3333333333333332593184650249895639717578887939453125
从这个值中减去 1 是精确的(众所周知的 FP 误差分析定理,即在一个因子为 2 的范围内的数字相减是精确的),所以结果4/3 - 1
是:
0.3333333333333332593184650249895639717578887939453125
碰巧这个数字乘以三的结果也可以精确表示:
0.9999999999999997779553950749686919152736663818359375
最后,从 1.0 中减去也是准确的(根据我之前引用的定理):
0.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
因此,您的计算中只有一个舍入误差源,因为 4/3 不能表示为双精度数,并且计算的最终结果只是初始误差结转。
在科学计算器上运行它 - log 2 (2.2204e-16) - 产生(几乎)正好 -52。换句话说,Matlab 将 52 位精度存储在 adouble
中,另外 5 位用于指数(4 + 符号),1 位用于有效数的符号。这符合 IEEE 754 实现:53 位用于有效位(52 + 符号),5 位用于指数。一切都很好!与往常一样,您应该测试两个浮点数是否足够接近,而不是它们是否完全相等。Matlab 中的一个适当示例如下所示:
if abs(x - y) < 1e-15
% Some code to execute when x and y are approximately equal
else
% Some other code
end
遵守 IEEE 754 的声明来自维基百科文章。
麻烦从计算开始4/3
。确切的答案既不能用有限的十进制数字表示,也不能用有限的位数表示。结果将存储为4/3+r
其中 r 是一个小的绝对值有符号数,表示 4/3 的实际值与最接近 4/3 的 IEEE 754 64 位二进制浮点数之间的差异,即舍入误差。
减去 1 的结果1/3+r
。乘以 3 得到1+3r
。从 1 中减去它得到-3r
.
最终结果是 4/3 的原始表示中舍入误差的 -3 倍。