matlab - 在 Matlab 中解释 1 - 3*(4/3 - 1) = 2.2204e-16

Question

我试图理解Matlab中的双精度数。为什么这个 1 - 3*(4/3 - 1) 不等于零？

Answer 1

实数 4/3 不能以双精度（或任何其他二进制浮点格式）表示，因为它不是二元有理数。因此，当您4/3在 MATLAB 中进行计算时，您得到的值会四舍五入为最接近的可表示双精度数，即：

1.3333333333333332593184650249895639717578887939453125

从这个值中减去 1 是精确的（众所周知的 FP 误差分析定理，即在一个因子为 2 的范围内的数字相减是精确的），所以结果4/3 - 1是：

0.3333333333333332593184650249895639717578887939453125

碰巧这个数字乘以三的结果也可以精确表示：

0.9999999999999997779553950749686919152736663818359375

最后，从 1.0 中减去也是准确的（根据我之前引用的定理）：

0.0000000000000002220446049250313080847263336181640625

因此，您的计算中只有一个舍入误差源，因为 4/3 不能表示为双精度数，并且计算的最终结果只是初始误差结转。

Answer 2

在科学计算器上运行它 - log ₂ (2.2204e-16) - 产生（几乎）正好 -52。换句话说，Matlab 将 52 位精度存储在 adouble中，另外 5 位用于指数（4 + 符号），1 位用于有效数的符号。这符合 IEEE 754 实现：53 位用于有效位（52 + 符号），5 位用于指数。一切都很好！与往常一样，您应该测试两个浮点数是否足够接近，而不是它们是否完全相等。Matlab 中的一个适当示例如下所示：

if abs(x - y) < 1e-15
      % Some code to execute when x and y are approximately equal
else
      % Some other code
end

遵守 IEEE 754 的声明来自维基百科文章。

Answer 3

麻烦从计算开始4/3。确切的答案既不能用有限的十进制数字表示，也不能用有限的位数表示。结果将存储为4/3+r其中 r 是一个小的绝对值有符号数，表示 4/3 的实际值与最接近 4/3 的 IEEE 754 64 位二进制浮点数之间的差异，即舍入误差。

减去 1 的结果1/3+r。乘以 3 得到1+3r。从 1 中减去它得到-3r.

最终结果是 4/3 的原始表示中舍入误差的 -3 倍。