language-agnostic - 支持向量机 - 分离超平面问题

Question

从我所看到的，似乎分离超平面必须是形式

xw + b = 0。

我不太明白这个符号。据我了解，x.w是一个内积，所以它的结果将是一个标量。你怎么能用标量 + b 来表示超平面？我对此很困惑。

此外，即使它是x + b = 0，它不是一个直接通过原点的超平面吗？据我了解，分离的超平面并不总是通过原点！

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它是使用点和法向量的（超）平面方程。
将平面视为点 P 的集合，使得从 P0 到 P 的向量垂直于法线

查看这些页面以获得解释：

score 7 · Accepted Answer

想象一下 3d 坐标系中的平面。为了描述它，您需要该平面的法向量 N 和平面到原点的距离 D。为简单起见，假设法线向量具有单位长度。那么该平面的方程为 xN - D = 0。

解释：xN 可以看作是 x 在法线向量 N 上的投影。结果是向量 x 平行于 N 的长度。如果这个长度等于 D，则点 x 在平面上。

score 6 · Accepted Answer

点积（即内积）的定义是

x。y = | x | * | 是| * cos(a)

其中 a 是x和y之间的最小角度。

很容易看出x。y = 0，如果 a=90 度 (pi rad)。

这意味着如果你有一个固定的法向量w，一个超平面由下式给出：

x。w = 0

是x可以“指向”的所有点的集合，因为x必须与w正交。

现在，一个超平面由下式给出：

x。w + b = 0

是x可以“指向”的所有点的集合，使得x。w是一个常数。随着x变长，| x | 增加，角度 a 必须接近 90 度 (pi rad)，cos(a) 减小，以产生相同的恒定结果。但是，如果您将x指向与w完全相反的方向，则 cos(a) = -1 和 | x | = b（假设w是单位长度）。

事实证明，这组点的给定平面平行于x。w = 0，并且在空间中移动距离 -b（在w的方向上）仍然假定w是单位长度。

这个答案可能不会帮助操作，但希望其他人会从中受益。

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