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假设四面体的四个顶点之一位于原点，另外三个位于向量u、v和w的末尾。如果向量u和v已知，并且u和v、v和w以及w和u之间的角度也已知，则似乎存在w的封闭形式解：旋转向量形成的两个圆锥的交点在关于u轴的u和w角度处，并通过在v和w处旋转矢量相对于v轴的角度。

尽管我在几天内无法提出封闭形式的解决方案，但我希望这是由于我缺乏 3d 几何经验，并且有更多经验的人可能会提出有用的建议。

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2 回答 2

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我遇到了同样的问题，发现 MBo 的回答非常有用。但我认为我们可以多说一点w的值，因为我们可以自由选择要工作的坐标系。特别是，如果我们选择 x 轴在u的方向，并且 xy -plane以包含向量v，则 MBo 的方程组变为：

   wx         = cos(uw)
vx*wx + vy*wy = cos(vw)
||w||         = 1

这个坐标系给出

vx = cos(uv), vy = sin(uv)

所以我们马上就明白了

                                                   _____________________
    (           cos(vw) - cos(uv) * cos(uw)    +  /        2              )
w = ( cos(uw), ----------------------------- , - /  1 - cos (uw) - wy*wy  )
    (                     sin(uv)              \/                         )

平方根上的 +- 给出了两种可能的解决方案，当然除非1 - cos^2(uw) - wy^2 <= 0. 当u和v线性相关（指向同一方向）时，除以sin(uv)也突出显示了退化情况。

我们可以进行的另一项检查是，如果向量u和v是正交的，则已知 wy = cos(vw)（参见https://math.stackexchange.com/questions/726782/find-a-3d-vector-given-the-angles-of-the -axes-and-a-magnitude）。这不属于上面的表达式（因为cos(uv) = 0and sin(uv) = 1）。

于 2014-08-21T08:53:19.483 回答
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没有足够的数据来计算顶点 w 位置。但是有可能找到单位向量w（如果它存在的话）。只需使用标量积属性并求解方程组（我使用 (vx,vy,vz) 作为单位（归一化）向量v的组成部分）

vx*wx+vy*wy+vz*wz=Cos(v,w angle)
ux*wx+uy*wy+uz*wz=Cos(u,w angle)
wx^2+wy^2+wz^2=1  //unit vector

这个系统可以给我们： 没有解决方案（锥体不重叠）；一种解决方案（锥体接触）；两种解决方案（两条射线作为锥面相交）

于 2013-02-21T03:42:48.177 回答