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尽管对浮点格式的工作原理有相当好的了解，但我在完成问题时遇到了麻烦。有人可以引导我完成获得答案所需的步骤吗？为什么不可能完全表示 1/3，我们怎么知道我们已经得到了最接近 1/3 的数字？

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2 回答 2

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IEEE 754 中浮点数的小数部分由 2 的负幂之和构成。

例如， 0.5 是 2 -1， 0.75 是 2 -1 +2 -2等等......

为了帮助您的工作，请考虑

  • 什么数通过将N 位2 的负幂相加接近 1/3 ？

  • 并且 1/3 是无限的，在有限的位数 (32) 浮点数内不能恰好有 1/3

要完成这个问题，您可以实现一个相当简单的算法来达到接近 1/3 的值

N = 23    // mantissa bits
T = 1/3   // target
p = 0.5   // first negative power of 2
r = 0.0   // resultat

do N times 
  if ( r + p <= T ) r = r + p // add power of 2 if result is not bigger than target
  p = p / 2  // next power of 2
done

要以二进制形式可视化结果，您可以在将p添加到r时打印“1”，如果不是，则打印“0”。最后一位可能是“1”，以使结果更接近目标。

于 2013-02-17T20:24:43.617 回答
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回答“我们能走多远？” 浮点数的问题，将有效数（小数部分）更改为整数通常很有用。为此，请从普通 32 位二进制 IEEE 浮点数的惯用浮点格式开始：

  • 符号 s（0 或 1 表示 + 或 -）、指数 e 和以“1”开头的分数 f。小数点后有 23 位。这三个部分组合起来表示数字 (–1) s •2 e •f。

然后缩放格式，使分数 f 改为整数 F。为此，我们从指数中减去 23 并将分数 f 乘以 2 23。然后我们有这种格式：

  • 符号 s、指数 e–23 和等于 2 23 •f 的整数 F（因此 2 23 ≤ F < 2 24）。这些部分组合起来表示数字 (–1) s •2 e–23 •F = (–1) s •2 e •f。

现在，计算出 1/3 在习惯格式中的指数。要使 f 以“1.”开头，e 必须为 -2。我们可以从 1/3 = 2 –2 •4/3 和 1 ≤ 4/3 < 2的事实中看出这一点，因此，在二进制中，4/3 以“1.”开头。

然后，考虑缩放格式。在这种格式中，我们必须有： 符号 s 是 0，指数是 –2–23 = –25，并且 F 是某个整数，使得 (–1) 0 •2 –25 •F ≈ 1/3。

这很容易解决，F ≈ 2 25 •1/3 = 33554432/3 = 11184810.666…。与该值最接近的整数是 11184811，因此 F = 11184811。

现在我们可以看到 F 中的误差是 1/3（F 必须是整数与我们希望的值之间的差），并且该误差按比例缩放 2 -25，因此误差为 2 -25 /3 ≈ 9.934e-09。该值本身为 2 –25 •11184811，约为 0.3333333433。

（请注意，我只处理了普通数字。对于接近浮点格式限制的数字，还必须考虑上溢和下溢。）

于 2013-02-18T05:22:04.257 回答