python - Python余弦函数精度

Question

从数学中我们知道 90 度角的余弦为 0，但 Python 说它不止于此。

import math
math.cos(math.radians(90))
6.123233995736766e-17

Python和数字“0”之间有什么关系？

Answer 1

跟着我重复：

计算机无法处理实数。

Python 使用双精度 IEEE 浮点数，它四舍五入到 53 位二进制精度并且对范围有限制。由于 π/2 是一个无理数，计算机将其四舍五入为最接近的可表示数字（或接近的可表示数字——一些运算具有精确舍入，一些运算具有大于 1/2 ULP 的误差）。

因此，您从未要求计算机计算cos(π/2)，而是真正要求计算机计算cos(π/2+ε)，其中 ε 是计算 π/2 的舍入误差。然后将结果再次四舍五入。

为什么 Excel（或其他程序）显示正确的结果？

可能性 1：程序进行符号计算，而不是数字计算。这适用于 Mathematica 和 Maxima 等程序，而不适用于 Excel。

可能性 2：程序隐藏了数据（很可能）。Excel 只会显示您要求的数字，例如，

>>> '%.10f' % math.cos(math.radians(90))
'0.0000000000'

Python 有一个经过微调的函数来打印浮点数，以便它们在往返文本和返回的过程中幸存下来。这意味着 Python 默认打印的数字比例如printf.

可能性 3：您正在使用的程序有两个取消的舍入错误。

Answer 2

正如 Dietrich 指出的那样，包含的 Math 包使用数值近似值来计算三角函数 - pi 具有通过浮点数表示的某种程度的精度。但是也有很多很好的 python 包可以进行符号计算——如果你愿意的话，Sympy是一种进行更精确计算的简单方法。

考虑：

import math
math.cos( 3*math.pi/2 )
# Outputs -1.8369701987210297e-16

相对于

import sympy
sympy.cos( 3*sympy.pi/2 ) 
# Outputs 0

在很多情况下这会有所不同，并且 sympy 的速度要慢得多。我用 math 和 sympy 测试了我的计算机可以在 5 秒内完成多少次余弦计算，它用 math 做了 38 倍的计算。这取决于你在寻找什么。