regression - 来自最小二乘派生平面的法线向量

Question

我有一组点，我可以得出以下形式的最小二乘解：

z = Ax + By + C

我计算的系数是正确的，但是如何在这种形式的方程中获得垂直于平面的向量？简单地使用这个方程中的 A、B 和 C 系数作为使用我的测试数据集的法线向量似乎并不正确。

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形成两个向量

v1 = <1 0 A>
v2 = <0 1 B>

两者都在平面上并取叉积：

N = v1 x v2 = <-A, -B, +1>     (or    v2 x v1 = <A, B, -1>  )

它之所以有效，是因为两个向量的叉积总是垂直于两个输入。因此，在平面中使用两个（非共线）向量会给你一个法线。

注意：当然，您可能想要一个归一化的法线，但我将把它留作练习。

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继 dmckee 的回答之后：

axb = (a2b3 - a3b2), (a3b1 - a1b3), (a1b2 - a2b1)

在你的情况下 a1=1, a2=0 a3=A b1=0 b2=1 b3=B

所以 = (-A), (-B), (1)

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在 dmckee 答案上有一点额外的颜色。我会直接发表评论，但我还没有足够的 SO 代表。;-(

当 C=0 时，平面 z = Ax + By + C 仅包含点 (1, 0, A) 和 (0, 1, B)。因此，我们将讨论平面 z = Ax + By。当然，这很好，因为第二个平面平行于原始平面，即包含原点的唯一垂直平移。我们希望计算的正交向量在这样的平移下是不变的，所以没有坏处。

当然，dmckee 的措辞是他指定的“向量”位于平面中，而不是点，因此可以说他被覆盖了。但我觉得明确承认隐含的翻译很有帮助。

男孩，这对我来说也有一段时间了。

学究你的... ;-)

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