algorithm - 找到由相邻网格点组成的多边形的所有内部网格点

Question

我有点列表（int x，int y）。它们一起形成区域，我检查该区域是否关闭，然后我需要获取由该区域内的所有位置形成的内部区域。

示例区域：

我唯一的想法是将这个区域转换为矢量并检查每个点是否在多边形内，计算多边形的交点轴的点。

但我认为这不是最有效的方法。

另一个想法是首先获取外部的所有点，我从角开始（如果角不是点列表的一部分，则 100% 为空），添加所有空的相邻点并重复。那么所有不在外部且不在突出显示列表中的点都在内部。

但是再一次，它感觉有点麻烦......

Answer 1

要找到网格多边形的所有内部网格点，可以利用以下观察结果：

1. 对于每个内部网格点 (x,y)， (x,y+0.5) 和 (x,y-0.5) 也是内部点。
2. 定义的线y=n+0.5与网格多边形有简单的交点

这导致以下算法：

1. 作为先决条件，需要所有非水平（即垂直和对角线）多边形边缘，实际上每个（第二个）中间行只有中心的 x 坐标按升序排列。

2. 在每隔一个水平“中线”扫描网格，即y=2n+0.5，其中 n 来自足够的整数范围，多边形被“覆盖”，参见图中的蓝线。

3. 从左边开始，所有与多边形的交点（即非水平边）和所有形式为 (m,2n+0.5) 的内部点都将被检测，见红色和绿色圆圈（这是通过迭代边缘中心的 x 坐标）
4. 现在内点 (m,2n+0.5) 的垂直网格邻居 (m,2n) 和 (m,2n+1) 是内点，如果它们不在边界上，请参见草图中的绿点。

这是一些伪代码（C++/python 启发:-)）：

list<Point> polygon; // given polygon as list of neighbouring grid points

// get centers of non-horizontal edges organized by line
map<int, set<float> > edgeCentersX; // for each scan line the x-coords of edges in ascending order

p_i = polygon[0]
yMin, yMax =  999999, -999999
for (i=1; i<polygon.size(); ++i)
    p_i1 = polygon[i] // next point after p_i
    if (p_i.x == p_i1.x)
        continue // horizontal edges can be ignored
    yMin_i = min(p_i.y, p_i1.y)
    if (yMin_i % 2 == 1)
        continue // we only need to look at each second mid-row
    if (yMin_i < yMin)
        yMin = yMin_i
    if (yMin_i > yMax)
        yMax = yMin_i
    cx = 0.5*(p_i.x+p_i1.x)
    edgeCentersX[yMin_i].insert(cx) // store edge center (yMin_i+0.5, cx)
    p_i = p_i1

list<Point> innerPoints
for (y=yMin; y<= yMax; y+=2)
    inside = false
    cx_i = edgeCentersX[y][0]
    for (i=1; i<edgeCentersX[y].size(); ++i)
        cx_i1 = edgeCentersX[y][i]
        inside = !inside
        if (!inside)
            continue
        for (x=floor(cx_i)+1; x<cx_i1; ++x)
            pLower = Point(y,x)
            if (!polygon.contains(pLower))
                innerPoints.append(pLower)
            pUpper = Point(y+1,x)
            if (!polygon.contains(pUpper))
                innerPoints.append(pUpper)

Answer 2

Pick's theorem可能是您正在寻找的公式。它允许对角为网格点（即具有整数坐标）的多边形的面积进行相当简单的计算。