boolean-expression - 使用布尔代数证明 ~(A XOR B) 与 (~A XOR B) 相同

Question

我需要证明表达式：

~(A XOR B)

相当于

(~A XOR B)

使用布尔代数。

我真的不知道如何开始，任何帮助将不胜感激。

Answer 1

为了证明两个逻辑表达式是等价的，你可以用两种不同的方式进行。

1. 为每个表达式写一个真值表，然后，如果得到的函数真值相同，则表达式是等价的；

2. 等价与两个方向的蕴涵相同；

   A <=> B 等价于 (A => B) AND (B => A)

   因此，您需要尝试从 ~(A xor B) 中获取 (~A xor B)，反之亦然。

   • ~(A xor B) =
   • 根据 xor + 否定的定义 = ~ ( (~A and B) or (A and ~B) ) =
   • 根据德摩根定律 = ~ (~A 和 B) 和 ~(A 和 ~B) =
   • 再次由德摩根定律 = (A or ~B) and (~A or B) =
   • 通过应用分配律 = (A and ~A) or (A and B) or (~B and ~A) or (~B and B) =
   • 忽略矛盾 = (A and B) or (~B and ~A) =
   • 在另一个方向应用 xor 的定义 = ~A xor B。

   结束

   必须在另一个方向上执行相同的过程（从 (~A xor B) 获取 ~(A xor B) ）。那么证明就完成了。