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几天来我一直在解决这个问题，但我被困住了......

我在 R 中执行了许多蒙特卡罗模拟，它为每个输入 x 提供了一个输出 y，并且 x 和 y 之间显然存在一些简单的关系，所以我想确定公式及其参数。但我似乎无法很好地适应“低 x”和“高 x”系列，例如使用这样的对数：

dat = data.frame(x=x, y=y)
fit = nls(y~a*log10(x)+b, data=dat, start=list(a=-0.8,b=-2), trace=TRUE)

我也尝试过拟合 (log10(x), 10^y) ，这给出了很好的拟合，但反向变换不太适合 (x, y) 。

谁能解决这个问题？

请说明您是如何找到解决方案的。

谢谢！

编辑：

感谢所有快速反馈！

我不知道我正在模拟的理论模型，所以我没有比较的基础。我根本不知道 x 和 y 之间的真正关系。顺便说一句，我不是统计学家。

底层模型是一种随机反馈增长模型。我的目标是在给定一些输入 x>0 的情况下确定长期增长率 g，因此系统的输出在每次迭代中以 1+g 的速率呈指数增长。根据系统的大小，系统在每次迭代中都有一个随机生成，该生成的一部分是输出，其余部分保存在由另一个随机变量确定的系统中。从 MC 模拟中，我发现对于我测试的每个 x，系统输出的增长率都是对数正态分布的，并且数据系列中的 y 是增长率 g 的对数均值。当 x 趋向无穷大时，g 趋向于零。当 x 趋向于零时，g 趋向于无穷大。

我想要一个可以从 x 计算 y 的函数。实际上，我只需要一个低 x 的函数，比如说，在 0 到 10 的范围内。我能够很好地拟合 y=1.556 * x^-0.4 -3.58，但它不适合大 x。我想要一个对所有 x>0 通用的函数。我也尝试过 Spacedman 的 poly fit（谢谢！），但它在 x=1 到 6 的关键范围内不够好。

有任何想法吗？

编辑2：

我做了更多的实验，还有 Grothendieck 的详细建议（谢谢！）经过一番考虑，我决定，因为我没有选择一个函数而不是另一个函数的理论基础，而且我很可能只对 x-感兴趣值在 1 到 6 之间，我应该使用一个适合的简单函数。所以我只使用了 y~a*x^b+c 并记下它不适合高 x。等论文初稿完成后，我可能会再次寻求社区的帮助。一旦您看到蒙特卡洛模型，也许你们中的一个人可以发现 x 和 y 之间的理论关系。

再次感谢！

低x系列：

      x          y
1   0.2 -0.7031864
2   0.3 -1.0533648
3   0.4 -1.3019655
4   0.5 -1.4919278
5   0.6 -1.6369545
6   0.7 -1.7477481
7   0.8 -1.8497117
8   0.9 -1.9300209
9   1.0 -2.0036842
10  1.1 -2.0659970
11  1.2 -2.1224324
12  1.3 -2.1693986
13  1.4 -2.2162889
14  1.5 -2.2548485
15  1.6 -2.2953162
16  1.7 -2.3249750
17  1.8 -2.3570141
18  1.9 -2.3872684
19  2.0 -2.4133978
20  2.1 -2.4359624
21  2.2 -2.4597122
22  2.3 -2.4818787
23  2.4 -2.5019371
24  2.5 -2.5173966
25  2.6 -2.5378936
26  2.7 -2.5549524
27  2.8 -2.5677939
28  2.9 -2.5865958
29  3.0 -2.5952558
30  3.1 -2.6120607
31  3.2 -2.6216831
32  3.3 -2.6370452
33  3.4 -2.6474608
34  3.5 -2.6576862
35  3.6 -2.6655606
36  3.7 -2.6763866
37  3.8 -2.6881303
38  3.9 -2.6932310
39  4.0 -2.7073198
40  4.1 -2.7165035
41  4.2 -2.7204063
42  4.3 -2.7278532
43  4.4 -2.7321731
44  4.5 -2.7444773
45  4.6 -2.7490365
46  4.7 -2.7554178
47  4.8 -2.7611471
48  4.9 -2.7719188
49  5.0 -2.7739299
50  5.1 -2.7807113
51  5.2 -2.7870781
52  5.3 -2.7950429
53  5.4 -2.7975677
54  5.5 -2.7990999
55  5.6 -2.8095955
56  5.7 -2.8142453
57  5.8 -2.8162046
58  5.9 -2.8240594
59  6.0 -2.8272394
60  6.1 -2.8338866
61  6.2 -2.8382038
62  6.3 -2.8401935
63  6.4 -2.8444915
64  6.5 -2.8448382
65  6.6 -2.8512086
66  6.7 -2.8550240
67  6.8 -2.8592950
68  6.9 -2.8622220
69  7.0 -2.8660817
70  7.1 -2.8710430
71  7.2 -2.8736998
72  7.3 -2.8764701
73  7.4 -2.8818748
74  7.5 -2.8832696
75  7.6 -2.8833351
76  7.7 -2.8891867
77  7.8 -2.8926849
78  7.9 -2.8944987
79  8.0 -2.8996780
80  8.1 -2.9011012
81  8.2 -2.9053911
82  8.3 -2.9063661
83  8.4 -2.9092228
84  8.5 -2.9135426
85  8.6 -2.9101730
86  8.7 -2.9186316
87  8.8 -2.9199631
88  8.9 -2.9199856
89  9.0 -2.9239220
90  9.1 -2.9240167
91  9.2 -2.9284608
92  9.3 -2.9294951
93  9.4 -2.9310985
94  9.5 -2.9352370
95  9.6 -2.9403694
96  9.7 -2.9395336
97  9.8 -2.9404153
98  9.9 -2.9437564
99 10.0 -2.9452175

高x系列：

              x         y
1  2.000000e-01 -0.701301
2  2.517851e-01 -0.907446
3  3.169786e-01 -1.104863
4  3.990525e-01 -1.304556
5  5.023773e-01 -1.496033
6  6.324555e-01 -1.674629
7  7.962143e-01 -1.842118
8  1.002374e+00 -1.998864
9  1.261915e+00 -2.153993
10 1.588656e+00 -2.287607
11 2.000000e+00 -2.415137
12 2.517851e+00 -2.522978
13 3.169786e+00 -2.621386
14 3.990525e+00 -2.701105
15 5.023773e+00 -2.778751
16 6.324555e+00 -2.841699
17 7.962143e+00 -2.900664
18 1.002374e+01 -2.947035
19 1.261915e+01 -2.993301
20 1.588656e+01 -3.033517
21 2.000000e+01 -3.072003
22 2.517851e+01 -3.102536
23 3.169786e+01 -3.138539
24 3.990525e+01 -3.167577
25 5.023773e+01 -3.200739
26 6.324555e+01 -3.233111
27 7.962143e+01 -3.259738
28 1.002374e+02 -3.291657
29 1.261915e+02 -3.324449
30 1.588656e+02 -3.349988
31 2.000000e+02 -3.380031
32 2.517851e+02 -3.405850
33 3.169786e+02 -3.438225
34 3.990525e+02 -3.467420
35 5.023773e+02 -3.496026
36 6.324555e+02 -3.531125
37 7.962143e+02 -3.558215
38 1.002374e+03 -3.587526
39 1.261915e+03 -3.616800
40 1.588656e+03 -3.648891
41 2.000000e+03 -3.684342
42 2.517851e+03 -3.716174
43 3.169786e+03 -3.752631
44 3.990525e+03 -3.786956
45 5.023773e+03 -3.819529
46 6.324555e+03 -3.857214
47 7.962143e+03 -3.899199
48 1.002374e+04 -3.937206
49 1.261915e+04 -3.968795
50 1.588656e+04 -4.015991
51 2.000000e+04 -4.055811
52 2.517851e+04 -4.098894
53 3.169786e+04 -4.135608
54 3.990525e+04 -4.190248
55 5.023773e+04 -4.237104
56 6.324555e+04 -4.286103
57 7.962143e+04 -4.332090
58 1.002374e+05 -4.392748
59 1.261915e+05 -4.446233
60 1.588656e+05 -4.497845
61 2.000000e+05 -4.568541
62 2.517851e+05 -4.628460
63 3.169786e+05 -4.686546
64 3.990525e+05 -4.759202
65 5.023773e+05 -4.826938
66 6.324555e+05 -4.912130
67 7.962143e+05 -4.985855
68 1.002374e+06 -5.070668
69 1.261915e+06 -5.143341
70 1.588656e+06 -5.261585
71 2.000000e+06 -5.343636
72 2.517851e+06 -5.447189
73 3.169786e+06 -5.559962
74 3.990525e+06 -5.683828
75 5.023773e+06 -5.799319
76 6.324555e+06 -5.929599
77 7.962143e+06 -6.065907
78 1.002374e+07 -6.200967
79 1.261915e+07 -6.361633
80 1.588656e+07 -6.509538
81 2.000000e+07 -6.682960
82 2.517851e+07 -6.887793
83 3.169786e+07 -7.026138
84 3.990525e+07 -7.227990
85 5.023773e+07 -7.413960
86 6.324555e+07 -7.620247
87 7.962143e+07 -7.815754
88 1.002374e+08 -8.020447
89 1.261915e+08 -8.229911
90 1.588656e+08 -8.447927
91 2.000000e+08 -8.665613
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2 回答 2

9

在不了解底层过程的情况下，您也可以将多项式与尽可能多的分量拟合。您似乎没有在测试假设（例如，重力与距离成反比），因此您可以随心所欲地寻找功能形式，数据不太可能告诉您哪个是“正确的”。

因此，如果我将您的数据读入带有 x 和 y 组件的数据框中，我可以这样做：

data$lx=log(data$x)
plot(data$lx,data$y) # needs at least a cubic polynomial 
m1 = lm(y~poly(lx,3),data=data) # fit a cubic
points(data$lx,fitted(m1),pch=19)

并且拟合点非常接近。将多项式次数从 3 更改为 7，点相同。这是否意味着您的 Y 值真的来自 X 值的 7 次多项式？不，但是你有一条穿过这些点的曲线。

在这个比例下，你还不如把相邻的点用一条直线连接起来，你的情节很流畅。但是如果没有关于为什么 Y 依赖于 X 的基本理论（如平方反比定律，或指数增长，或其他东西），你所做的只是连接点，并且有无限的方法可以做到这一点。

于 2013-02-01T12:16:27.760 回答
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回归 x/y 与 x绘制y与x低数据的对比并玩弄一点似乎x/y是近似线性的，x所以尝试回归它x/y给x我们一个仅基于两个参数的关系：

y = x / (a + b * x)

其中 a 和 b 是回归系数。

> lm(x / y ~ x, lo.data)

Call:
lm(formula = x/y ~ x, data = lo.data)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    -0.1877      -0.3216

MM.2以上可以转化为drc R包中的MM.2模型。如下所示，该模型具有高 R 2。此外，我们计算了可用于与其他模型进行比较的 AIC（越低越好）：

> library(drc)
> fm.mm2 <- drm(y ~ x, data = lo.data, fct = MM.2())
> cor(fitted(fm.mm2), lo.data$y)^2
[1] 0.9986303
> AIC(fm.mm2)
[1] -535.7969

CRS.6这表明我们尝试了一些其他的 drc 模型，而我们尝试的 CRS.6 具有特别低的 AIC，并且在视觉上似乎很适合：

> fm.crs6 <- drm(y ~ x, data = lo.data, fct = CRS.6())
> AIC(fm.crs6)
[1] -942.7866
> plot(fm.crs6) # see output below

这为我们提供了一系列模型，我们可以从 2 参数MM.2模型中使用该模型，该模型不如 CRS.6 的拟合（根据 AIC），但仍然非常拟合，并且具有只有两个参数或 6 参数的优势CRS.6具有卓越 AIC 的模型。请注意，AIC 已经惩罚了具有更多参数的模型，因此具有更好的 AIC 并不是具有更多参数的结果。

其他如果认为 low 和 high 都应该具有相同的模型形式，那么找到一个适合 low 和 high 的单一模型形式可能会用作选择模型形式的另一个标准。除了 drc 模型，在Akbar et al, IRJFE, 2010的 (2.1), (2.2), (2.3) 和 (2.4) 中也有一些产量密度模型看起来类似于 MM.2 模型，可以受审。

截屏

更新：围绕 drc 包重新设计。

于 2013-02-02T07:29:49.640 回答