c# - 一点到这条曲线的最短距离

Question

我需要找到多个点到以下形式的曲线的距离：f(x) = a^(k^(bx))

我的第一个选择是使用它的导数，使用具有导数倒数的形式的线，给它坐标Point并与原始曲线相交。最后，我们用简单的几何图形计算点之间的距离。

这就是我通常遵循的数学过程。我需要节省时间（因为我正在做一个遗传算法程序）所以我需要一种有效的方法来做到这一点。想法？

Answer 1

点 (c,d) 和曲线之间的距离是函数的最小值

sqrt((c-x)^2 + (d-a^(k^(bx)))^2)

为了找到它的最小值，我们可以忘记sqrt并查看一阶导数。找出它是 0 的位置（它必须是最小距离，因为没有最大距离）。这为您提供了曲线上最近点的 x 坐标。要获得距离，您需要计算y坐标，然后计算到该点的距离（您可以在那个处计算距离函数x，这是同一回事）。

重复你的每个点。

不幸的是，距离函数的一阶导数是一种婊子。使用Wolfram 的 derivator，结果是有希望的（如果我没有犯任何复制错误）：

dist(x)/dx = 2(b * lna * lnk * k^(bx) * a^(k^(bx)) * (a^(k^(bx)) - d) - c + x)

Answer 2

要找到从点到曲线的距离，这不是一项简单的任务，因为您需要找到函数的全局，其中 f(x) 是确定曲线的函数。

为此，您可以使用：
Simplex method
Nelder_Mead_method
gradient_descent

此方法在Solver Foundation、NMath等许多库中实现。