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给定一个未加权无向图的邻接矩阵，是否有一种有效的方法（多项式算法）来扩展/增加任何给定两个节点 s 和 t 之间的最短路径的长度？

例子：

在下面的示例中，从顶点 s=1 到顶点 t=5 有 5 条不同的“最短路径”，每个长度为 3。我想删除最少数量的边，以便最短路径长度强制变为 4 或更多的。（断开图表是可以的。）

邻接矩阵（扩展以纠正示例）：

 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 
 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0  
 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 
 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0  
 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 
 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 
 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 
 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 
 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

表示此图：

修正图 (AKE)

强制最短路径长度从 3 增加到 4 的最小成本是去除两条边 (1,2) 和 (5,9)

目标：

您能否为找到在一般情况下必须删除的边集的通用算法提供任何想法？

更正：如我的评论中所述，此示例不完整。通过添加另外两个顶点 10 和 11（以红色显示），该示例被救出。

4

2 回答 2

3

输入：G = (V,E)，顶点 s，t 和正整数 d。

问题：最小化删除所需的边数，使得 dist(s,t) >= d。

这个问题对于 d > 3 是 NP-hard 并且对于 d 的其他值是多项式可解的。

问题是在距离 d 和允许删除的边数 k 上参数化 FPT：算法如下：找到长度最多为 d 的 (s,t)-路径，并在您要到达的 d 边上分支可以删除。这导致算法在时间 O(d^k * n^2) 中运行。

当仅由 d 参数化（即仅 k）时，它是对 NP 完全的（分别为 W[1]-hard）。

参考：有界长度路径及其切割：参数化复杂性和算法，Golovach，PA 和 Thilikos，DM，离散优化第 8 卷，第 1 期，第 72 - 86 页，2011 年，出版商 E​​lsevier。

于 2013-01-29T21:44:26.757 回答
2

我用我在“Pål GD”答案的第三条评论中提到的方法解决了这个问题。这是它的java代码。希望对您有所帮助！

// BFS to find the depth of every node (from source node)
// graph is the adjacency matrix.
// elements of row zero and column zero are all useless. this program
// works with indices >=1 
private int[][] BFS (int[][] graph, int source, boolean SPedges){
    int[][] temp = null;

    // nodes is number of graph nodes. (nodes == graph.length - 1)
    if (SPedges){
        temp = new int[nodes + 1][nodes + 1];
    }
    else{
        depth[source] = 0;
    }
    LinkedList<Integer> Q = new LinkedList<Integer>();
    Q.clear();
    visited[source] = true;
    Q.addFirst(source);
    while (!Q.isEmpty()){
        int u = Q.removeLast();
        for (int k = 1; k <= nodes; k++){
            if (!SPedges){
                // checking if there's a edge between node u and other nodes
                if (graph[u][k] == 1 && visited[k] == false){
                    visited[k] = true;
                    depth[k] = depth[u] + 1;
                    Q.addFirst(k);
                }
            }
            else{
                if (graph[u][k] == 1 && depth[k] == depth[u] - 1){
                    Q.addFirst(k);
                    temp[k][u] = 1;
                }
            }
        }   
    }
    return temp;
}

// fills the edges of shortest path graph in flow 
private ArrayList<Edge> maxFlow(int[][] spg, int source, int sink){ 
    int u = source;
    ArrayList<Integer> path = new ArrayList<Integer> (depth[sink]);
    path.add(source);
    Arrays.fill(visited, false);
    visited[source] = true;
    for (int i = 1; i <= nodes + 1; i++){
        if (i == nodes + 1){
            if (u == source)
                break;
            u = path.get(path.size() - 2);
            i = path.remove(path.size() - 1);
        }
        else if(spg[u][i] == 1 && visited[i] == false){
            visited[i] = true;
            path.add(i);
            if (i == sink){
                for(int k = 0; k < path.size() - 1; k++){
                    spg[path.get(k)][path.get(k+1)] = 0;
                    spg[path.get(k+1)][path.get(k)] = 1;
                }
                i = 0;
                u = source;
                path.clear();
                path.add(u);
                Arrays.fill(visited, false);
            }
            else{
                u = i;
                i = 0;
            }
        }
    }

    LinkedList<Integer> Q = new LinkedList<Integer>();
    Q.clear();

    Arrays.fill(visited, false);

    visited[source] = true;
    Q.addFirst(source);
    while (!Q.isEmpty()){
        u = Q.removeLast();
        for (int k = 1; k <= nodes; k++){
            if (spg[u][k] == 1 && visited[k] == false){
                visited[k] = true;
                Q.addFirst(k);
            }   
        }
    }
    ArrayList<Edge> edges = new ArrayList<Edge>();
    for (int i = 1; i <= nodes; i++){
        for (int j = 1; j <= nodes; j++){
            if ((spg[i][j] == 1) && (visited[i] ^ visited[j])){
                edges.add(new Edge(i, j));
            }
        }
    }

    return edges;
}

public void Solv(){
    // adjacency matrix as g. represents the graph.
    // first we find depth of each node corresponding to source node by a BFS from source
    BFS(g, s, false);

    // shortest path length from source to sink (node t)
    SPL = depth[t];

    // shortest path graph
    // it's a subgraph of main graph consisting only edges that are in a shortest path
    // between s and t
    spg = BFS(g, t, true);

    // lastly we find edges of a min cut in shortest paths graph
    // and store them in "edges"
    edges = maxFlow(spg, s, t);
}    

class Edge{
    private int begin, end;
    public Edge(int begin, int end){
        this.begin = begin;
        this.end = end;
    }
    @Override
    public String toString() {
        return new String(String.valueOf(begin) + " " + String.valueOf(end));
    }
}
于 2014-05-29T09:37:00.213 回答