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这不是一个家庭作业问题，我只是对我对区间算术的理解和练习 2.16 的含义不满意。

2.14 节定义的区间算术不具备普通算术的特性。两个应该是等价的操作，(r1*r2)/(r1 + r2) 和 1/(1/r1 + 1/r2)，给出不同的结果。练习询问为什么会出现这种情况，以及是否有可能构建一个不是这种情况的区间算术系统。

该部分正在解决电气元件电阻误差范围的计算。我不确定我是否理解在这些术语中乘以和除以间隔的含义。将两个间隔相乘有什么用？

在这个例子中是否可以构造一个没有问题的区间算术系统？

http://mitpress.mit.edu/sicp/full-text/book/book-ZH-14.html#%_sec_2.1.4

(define (make-interval a b)
  (cons a b))

(define (make-center-width c w)
  (make-interval (- c w) (+ c w)))

(define (make-center-percent c p)
  (make-center-width c (* c (/ p 100.0))))

(define (lower-bound i)
  (car i))

(define (upper-bound i)
  (cdr i))

(define (center i)
  (/ (+ (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (width i)
  (/ (- (upper-bound i) (lower-bound i)) 2))

(define (percent i)
  (* 100.0 (/ (width i) (center i))))

(define (add-interval x y)
  (make-interval (+ (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (+ (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (sub-interval x y)
  (make-interval (- (lower-bound x) (lower-bound y))
                 (- (upper-bound x) (upper-bound y))))

(define (mul-interval x y)
  (let ((p1 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p2 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p3 (* (lower-bound x) (lower-bound y)))
        (p4 (* (lower-bound x) (lower-bound y))))
    (make-interval (min p1 p2 p3 p4)
                   (max p1 p2 p3 p4))))

(define (div-interval x y)
  (if (= (width y ) 0) 
      (error "division by interval with width 0")
      (mul-interval x
                    (make-interval (/ 1.0 (upper-bound y))
                                   (/ 1.0 (lower-bound y))))))

(define (parl1 r1 r2)
  (div-interval (mul-interval r1 r2)
                (add-interval r1 r2)))

(define (parl2 r1 r2)
  (let ((one (make-interval 1 1)))
              (div-interval one
                           (add-interval (div-interval one r1)
                                         (div-interval one r2))))

(define (r1 (make-interval 4.0 3.2)))
(define (r2 (make-interval 3.0 7.2)))

(center (parl1 r1 r2))
(width (parl1 r1 r2))
(newline)
(center (parl2 r1 r2))
(width (parl2 r1 r2))
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发生这种情况是因为区间算术中的操作没有字段的算术结构。

正如 Sussman 所说，这个练习很困难——你需要检查字段结构的每一个操作，看看哪个不满足。

练习要求我们证明区间算术不是函数范围的算术。

在域 [-1, 1] 上定义的 f (x) = x^2 等函数的范围为 [0,1]，包含在 [-1,1] * [-1,1] = [- 1,1]，通过将符号替换为符号x的域而获得x。

如果我们定义一个类似的函数，它对每个维度使用不同的变量，比如 f(x,y) = x * y，那么这个函数的范围，当定义在域 [-1,1] * [-1 ,1]，与区间 [-1,1] * [-1,1] = [-1, 1] 相同，因为 x 只使用一次，y 也是如此。

碰巧的是，当函数 f(.., x, ..) 在每个变量中是连续的时，x如果每个符号在 f 的定义中只使用一次，则范围算术与区间算术相同。

在 Alice 的第一个公式中，并联电阻的计算重复变量 R1 的 2 倍，变量 R2 的 2 倍，并且使用相同的参数，该函数的范围包含在从公式获得的相应区间的乘积中函数，通过将每个名称替换为相应的域间隔，但并不严格相同。

我们被要求重写任何函数，使得重写函数的范围与通过应用重写函数的公式获得的区间相同，名称替换为与重写函数中相应名称的域相等的区间，或者表明这对于每个可能的功能是不可能的。

这个问题叫做依赖问题，是一个很大的问题，对它的理解超出了SICP的目的，需要多变量的微分方程来解决。

正如 Sussman 自己所说，这个练习的目的是为了表明数据可以以多种方式编码。重点不是数学，而是数据抽象。

于 2013-01-03T00:03:49.763 回答
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理解问题的最简单方法是查看非常简单的表达式e = x/xwhere xis in [2,3]。如果我们使用区间算术，我们会得到e，[2/3, 3/2]但是二年级算术表明e=x/x=1。那么给了什么？

嗯，它实际上很简单：使用区间算术时，我犯了一个错误，即假设x可以同时有两个不同的值。当分子为 3 且分母为 2 时给出最大值e，但是由于两者应该始终相同，所以这是不可能的。

那么，有没有可能使用区间算术？是的，当所有区间只出现一次时，从那时起，在不同的区间计算中，同一变量的不同值就不会出现问题。

是否可以创建一个没有这个问题的算术包？不，因为不是每个函数都可以写成每个变量只出现一次的地方。这个问题被称为依赖问题。

于 2021-05-05T03:33:11.110 回答