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我正在尝试使用 Mathematica 解决以下问题：

{2,3,4,5,6,7,8}通过算术运算{+,-,*,/}、取幂和括号无法从集合中获得的最小正整数是多少。集合中的每个数字必须只使用一次。不允许一元运算（例如，如果不使用 0，则 1 不能转换为 -1）。

例如，该号码1073741824000000000000000可通过 获得(((3+2)*(5+4))/6)^(8+7)。

我是 Mathematica 的初学者。我编写的代码我认为可以解决 set 的问题{2,3,4,5,6,7}（我的答案是 2249），但是我的代码效率不足以使用 set {2,3,4,5,6,7,8}。（我的代码已经在片场运行了 71 秒{2,3,4,5,6,7}）

我非常感谢使用 Mathematica 解决这个更难的问题的任何技巧或解决方案，或者关于如何加快现有代码的一般见解。

我现有的代码使用暴力递归方法：

（* 这将一组 1 个数字的组合定义为该 1 个数字的集合 *）

combinations[list_ /; Length[list] == 1] := list

（*这测试是否可以对两个数字求幂，包括（有点）任意限制以防止溢出*）

oktoexponent[number1_, number2_] :=

 If[number1 == 0, number2 >= 0,
  If[number1 < 0,
   (-number1)^number2 < 10000 \[And] IntegerQ[number2],
   number1^number2 < 10000 \[And] IntegerQ[number2]]]

(* 这需要一个列表并删除分母大于 100000 的分数 *)

cleanup[list_] := Select[list, Denominator[#] < 100000 &]

（* 这定义了一组 2 个数字的组合 - 并返回一组通过 + - * / 由 oktoexponent 和清理规则过滤的应用获得的所有可能数字 *）

combinations[list_ /; Length[list] == 2 && Depth[list] == 2] :=
  cleanup[DeleteCases[#, Null] &@DeleteDuplicates@
    {list[[1]] + list[[2]],
     list[[1]] - list[[2]],
     list[[2]] - list[[1]],
     list[[1]]*list[[2]],
     If[oktoexponent[list[[1]], list[[2]]], list[[1]]^list[[2]],],
     If[oktoexponent[list[[2]], list[[1]]], list[[2]]^list[[1]],],
     If[list[[2]] != 0, list[[1]]/list[[2]],],
     If[list[[1]] != 0, list[[2]]/list[[1]],]}]

（* 这扩展了组合以使用集合集 *）

combinations[
  list_ /; Length[list] == 2 && Depth[list] == 3] := 
 Module[{m, n, list1, list2},
  list1 = list[[1]];
  list2 = list[[2]];
  m = Length[list1]; n = Length[list2];
  cleanup[
   DeleteDuplicates@
    Flatten@Table[
      combinations[{list1[[i]], list2[[j]]}], {i, m}, {j, n}]]]

(* 对于给定的集合，partition 将所有分区的集合返回到两个非空子集 *)

partition[list_] := Module[{subsets},
  subsets = Select[Subsets[list], # != {} && # != list &]; 
  DeleteDuplicates@
   Table[Sort@{subsets[[i]], Complement[list, subsets[[i]]]}, {i, 
     Length[subsets]}]]

（* 这最终扩展了组合以使用任何大小的集合 *）

combinations[list_ /; Length[list] > 2] := 
 Module[{partitions, k},
  partitions = partition[list];
  k = Length[partitions]; 
  cleanup[Sort@
    DeleteDuplicates@
     Flatten@(combinations /@ 
        Table[{combinations[partitions[[i]][[1]]], 
          combinations[partitions[[i]][[2]]]}, {i, k}])]]

Timing[desiredset = combinations[{2, 3, 4, 5, 6, 7}];]

{71.5454, Null}

Complement[
   Range[1, 3000], #] &@(Cases[#, x_Integer /; x > 0 && x <= 3000] &@
   desiredset)

{2249, 2258, 2327, 2509, 2517, 2654, 2789, 2817, 2841, 2857, 2990, 2998}
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2 回答 2

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这无济于事，但我今天无用的喋喋不休超出了我的配额：

(* it turns out the symbolizing + * is not that useful after all *) 
f[x_,y_] = x+y 
fm[x_,y_] = x-y 
g[x_,y_] = x*y 
gd[x_,y_] = x/y 

(* power properties *) 
h[h[a_,b_],c_] = h[a,b*c] 
h[a_/b_,n_] = h[a,n]/h[b,n] 
h[1,n_] = 1 

(* expand simple powers only! *) 
(* does this make things worse? *) 
h[a_,2] = a*a 
h[a_,3] = a*a*a 

(* all symbols for two numbers *) 
allsyms[x_,y_] := allsyms[x,y] =  
 DeleteDuplicates[Flatten[{f[x,y], fm[x,y], fm[y,x],  
 g[x,y], gd[x,y], gd[y,x], h[x,y], h[y,x]}]] 

allsymops[s_,t_] := allsymops[s,t] =  
 DeleteDuplicates[Flatten[Outer[allsyms[#1,#2]&,s,t]]] 

Clear[reach]; 
reach[{}] = {} 
reach[{n_}] := reach[n] = {n} 
reach[s_] := reach[s] = DeleteDuplicates[Flatten[ 
 Table[allsymops[reach[i],reach[Complement[s,i]]],  
  {i,Complement[Subsets[s],{ {},s}]}]]]

这里的总体思路是避免计算幂（代价高昂且不可交换），同时使用加法/乘法的交换性/结合性来降低reach[] 的基数。

上面的代码也可以在：

https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/playground.m#L20

以及数千兆字节的其他无用代码、数据和幽默。

于 2013-01-20T05:39:44.537 回答
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我认为您的问题的答案在于命令Groupings。这允许您创建列表的二叉树。二叉树非常有用，因为您允许的每个操作都Plus, Subtract, Times, Divide, Power需要两个参数。例如。

In>  Groupings[3,2]
Out> {List[List[1,2],3],List[1,List[2,3]]}

因此，我们需要做的就是用List允许的操作的任何组合替换。

但是，Groupings它似乎是全能的，因为它可以选择这样做。想象一下，你有两个函数foo并且bar都接受2参数，那么你可以将所有组合设为：

In>  Groupings[3,{foo->2,bar->2}]
Out> {foo[foo[1,2],3],foo[1,foo[2,3]],foo[bar[1,2],3],foo[1,bar[2,3]],
      bar[foo[1,2],3],bar[1,foo[2,3]],bar[bar[1,2],3],bar[1,bar[2,3]]}

现在可以计算我们拥有的组合数量：

In>  Groupings[Permutations[#],
               {Plus->2,Subtract->2,Times->2,Divide->2,Power->2}
              ] &@ {a,b,c,d,e};
In>  Length@%
In>  DeleteDuplicates@%%
In>  Length@%
Out> 1050000
Out>  219352

这意味着对于 5 个不同的数字，我们有 219352 个唯一的组合。

遗憾的是，由于上溢、被零除或下溢，许多这些组合无法评估。但是，尚不清楚要删除哪些。价值a^(b^(c^(d^e)))可能很大，也可能很小。分数幂可以产生完美的根，大数的除法可以变得完美。

In>  Groupings[Permutations[#],
               {Plus->2,Subtract->2,Times->2,Divide->2,Power->2}
              ] &@ {2, 3, 4};
In>  Union[Cases[%, _?(IntegerQ[#] && # >= 0 &)]];
In>  Split[%, #2 - #1 <= 1 &][[1]]
Out> {1, 2, 3, 4, 5, 6}
于 2018-04-17T12:37:45.767 回答