如何找到 1 到 100 范围内除数最多的最小数字？我知道一种简单的方法是检查从 1 到 100 的每个数字的除数，并跟踪具有最大除数的数字。但是有没有更有效的方法？
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对于较小的界限，使用筛子就足够了。从事实来看
r r
(1) n = ∏ p_k^e_k => τ(n) = ∏ (e_k + 1)
k=1 k=1
很明显，除数的数量可以很容易地从 的素数分解中确定n，并且τ(m*n) = τ(m) * τ(n)如果gcd(m,n) = 1（即 τ 是乘法函数）。
τ(n)因此，如果我们知道 和 的任何素数，n我们就可以廉价地计算τ(m)出1 <= m < n。因此
int sieve[limit+1];
// initialise sieve
for(int i = 0; i <= limit; ++i) {
sieve[i] = i;
}
// find a prime factor for all numbers > 1
int root = sqrt(limit); // limit is supposed to be not too large, so no fixup needed here
for(int p = 2; p <= root; ++p) {
if (sieve[p] == p) {
// this means p is prime, mark multiples
for(int m = p*p; m <= limit; m += p) {
sieve[m] = p;
}
}
// Now sieve[n] is a prime factor of n
int p;
for(int n = 2; n <= limit; ++n) {
if ((p = sieve[n]) == n) {
// a prime, two divisors
sieve[n] = 2;
} else {
// count the multiplicity of p in n and find the cofactor of p^multiplicity
int m = 1, q = n;
do {
q /= p;
++m;
}while(q % p == 0);
sieve[n] = m*sieve[q];
}
}
// Now sieve[n] contains τ(n), the number of divisors of n, look for the maximum
int max_div = 0, max_num = 0;
for(int n = 1; n <= limit; ++n) {
if (sieve[n] > max_div) {
max_div = sieve[n];
max_num = n;
}
}
N找到最大除数不超过时间的最小数字O(N*log log N)，具有相对较小的常数因子（可以通过单独处理 2 并仅标记奇数素数的奇数倍来进一步减少）。
这是一种简单的蛮力方法，对于小程序来说足够快N（“小”的解释取决于“足够快”的概念，可以是<= 1000或<= 1000000例如）。
对于更大的范围，这太慢且太占用内存。对于这些，我们需要做更多的分析。
从 (1) 中，我们可以推断出在所有具有相同质因数分解结构的数中（意味着相同数量r的不同质因数，以及相同的多重指数，但可能以不同的顺序），都具有相同的数除数中，最小的那个是
- 素数是
r最小的素数 - 指数按降序出现（2 具有最大的指数，3 次大，...）
<= N所以我们可以通过考虑所有有限序列来找到具有最多除数的最小数
e_1 >= e_2 >= ... >= e_r > 0
与财产
r
N/2 < n(e_1, ..., e_r) = ∏ p_k^e_k <= N
k=1
并且寻求的数字是n(e_1, ..., e_r)他们生产的数字之一。（如果n(e_i) <= N/2对于单调非递增有限序列，加 1 的序列e_1将产生一个<= N具有更多除数的数。）
对于与 大致成比例的指数，会产生最大的除数1/log p_k。更准确地说，对于一个固定的r，让
r
T(x_1, ..., x_r) = ∏ (x_k+1)
k=1
r
F(x_1, ..., x_r) = ∏ p_k^x_k
k=1
然后在点T的集合上假设其最大值{ x : F(x) = N and x_k > 0 for all k }
r
x_k = (log N + ∑ log p_k)/(r * log p_k) - 1
k=1
我们只承认整数指数，这使问题复杂化，但是偏离比例太远会产生比我们在比例附近发现的除数更少的数字。
让我们来说明它N = 100000（它有点太小而无法真正利用比例性，但足够小以完全手工完成）：
r = 1:e_1 = 16,n(16) = 2^16 = 65536有 17 个除数。r = 2: 设定x_2 = x_1 * log 2 / log 3,N = 2^x_1 * 3^x_2 = 2^(2*x_1)得到x_1 ≈ 8.3, x_2 ≈ 5.24。现在让我们看看e_1, e_2close to会发生什么x_1, x_2。2^7 *3^6 = 93312, τ(2^7 *3^6) = (7+1)*(6+1) = 56 2^8 *3^5 = 62208, τ(2^8 *3^5) = (8+1)*(5+1) = 54 2^10*3^4 = 82944, τ(2^10*3^4) = (10+1)*(4+1) = 55远离比例性会迅速减少除数，
2^11*3^3 = 55296, τ(2^11*3^3) = (11+1)*(3+1) = 48 2^13*3^2 = 73728, τ(2^13*3^2) = (13+1)*(2+1) = 42 2^15*3^1 = 98304, τ(2^15*3^1) = (15+1)*(1+1) = 32因此，最接近比例的一对并没有产生最大的除数，但具有大除数的那些是最接近的三个。
r = 3: 同样，我们得到x_1 ≈ 5.5, x_2 ≈ 3.5, x_3 ≈ 2.42^4 *3^3*5^3 = 54000, τ(2^4 *3^3*5^3) = 5*4*4 = 80 2^5 *3^4*5^2 = 64800, τ(2^5 *3^4*5^2) = 6*5*3 = 90 2^7 *3^3*5^2 = 86400, τ(2^7 *3^3*5^2) = 8*4*3 = 96 2^8 *3^2*5^2 = 57600, τ(2^8 *3^2*5^2) = 9*3*3 = 81 2^6 *3^5*5^1 = 77760, τ(2^6 *3^5*5^1) = 7*6*2 = 84 2^7 *3^4*5^1 = 51840, τ(2^7 *3^4*5^1) = 8*5*2 = 80 2^9 *3^3*5^1 = 69120, τ(2^9 *3^3*5^1) = 10*4*2 = 80 2^11*3^2*5^1 = 92160, τ(2^11*3^2*5^1) = 12*3*2 = 72 2^12*3^1*5^1 = 61440, τ(2^12*3^1*5^1) = 13*2*2 = 52同样，对于接近比例的指数，可以实现较大的除数。
r = 4: 指数的粗略近似是x_1 ≈ 4.15, x_2 ≈ 2.42, x_3 ≈ 1.79, x_4 ≈ 1.48。对于e_4 = 2，只有一种选择，2^3*3^2*5^2*7^2 = 88200, τ(2^3*3^2*5^2*7^2) = 4*3*3*3 = 108对于
e_4 = 1，我们还有几个选择：2^4*3^3*5^2*7^1 = 75600, τ(2^4*3^3*5^2*7^1) = 5*4*3*2 = 120 2^5*3^2*5^2*7^1 = 50400, τ(2^5*3^2*5^2*7^1) = 6*3*3*2 = 108 2^5*3^4*5^1*7^1 = 90720, τ(2^5*3^4*5^1*7^1) = 6*5*2*2 = 120 2^6*3^3*5^1*7^1 = 60480, τ(2^6*3^3*5^1*7^1) = 7*4*2*2 = 112 2^8*3^2*5^1*7^1 = 80640, τ(2^8*3^2*5^1*7^1) = 9*3*2*2 = 108 2^9*3^1*5^1*7^1 = 53760, τ(2^9*3^1*5^1*7^1) = 10*2*2*2 = 80r = 5:x_1 ≈ 3.3, x_2 ≈ 2.1, x_3 ≈ 1.43, x_4 ≈ 1.18, x_5 ≈ 0.96. 因为2*3*5*7*11 = 2310, 7 和 11 的指数必须是 1, 我们找到候选2^2*3^2*5^2*7*11 = 69300, τ(2^2*3^2*5^2*7*11) = 3*3*3*2*2 = 108 2^3*3^3*5^1*7*11 = 83160, τ(2^3*3^3*5^1*7*11) = 4*4*2*2*2 = 128 2^4*3^2*5^1*7*11 = 55440, τ(2^4*3^2*5^1*7*11) = 5*3*2*2*2 = 120 2^6*3^1*5^1*7*11 = 73920, τ(2^6*3^1*5^1*7*11) = 7*2*2*2*2 = 112r = 6: 因为2*3*5*7*11*13 = 30030，这里只有一个候选人，2^2*3*5*7*11*13 = 60060, τ(60060) = 3*2^5 = 96这会产生比使用四个或五个素数的最佳候选者更小的除数。
因此，我们调查了 28 个候选者（并且可以跳过其中几个），发现<= 100000除数最多的最小数字是 83160（98280 是另一个低于 100000 的数字，有 128 个除数）。
这是一个程序，它可以在< 2^64几乎瞬间找到具有最多除数的最小数（没有尝试过捷径，因为它对于 64 位整数来说足够快，对于任意精度整数来说，这将变得值得在某一点）：
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
typedef struct {
unsigned long long number;
unsigned long long divisors;
} small_max;
static const unsigned long long primes[] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 };
static const unsigned long long primorials[] =
{ 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230,
200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030,
614889782588491410 };
static const unsigned num_primes = sizeof primorials / sizeof primorials[0];
small_max max_divisors(unsigned long long limit);
small_max best_with(unsigned long long limit, unsigned index, unsigned multiplicity);
void factor(unsigned long long number);
int main(int argc, char *argv[]) {
unsigned long long limit;
limit = argc > 1 ? strtoull(argv[1],NULL,0) : 100000;
small_max best = max_divisors(limit);
printf("\nSmallest number not exceeding %llu with most divisors:\n",limit);
printf("%llu with %llu divisors\n", best.number, best.divisors);
factor(best.number);
return 0;
}
small_max max_divisors(unsigned long long limit) {
small_max result;
if (limit < 3) {
result.number = limit;
result.divisors = limit;
return result;
}
unsigned idx = num_primes;
small_max best = best_with(limit,0,1);
printf("Largest power of 2: %llu = 2^%llu\n", best.number, best.divisors-1);
for(idx = 1; idx < num_primes && primorials[idx] <= limit; ++idx) {
printf("Using primes to %llu:\n", primes[idx]);
unsigned long long test = limit, remaining = limit;
unsigned multiplicity = 0;
do {
++multiplicity;
test /= primorials[idx];
remaining /= primes[idx];
result = best_with(remaining, idx-1, multiplicity);
for(unsigned i = 0; i < multiplicity; ++i) {
result.number *= primes[idx];
}
result.divisors *= multiplicity + 1;
if (result.divisors > best.divisors) {
printf("New largest divisor count: %llu for\n ", result.divisors);
factor(result.number);
best = result;
} else if (result.divisors == best.divisors && result.number < best.number) {
printf("Smaller number with %llu divisors:\n ", result.divisors);
factor(result.number);
best = result;
}
}while(test >= primorials[idx]);
}
return best;
}
small_max best_with(unsigned long long limit, unsigned index, unsigned multiplicity) {
small_max result = {1, 1};
if (index == 0) {
while(limit > 1) {
result.number *= 2;
++result.divisors;
limit /= 2;
}
return result;
}
small_max best = {0,0};
unsigned long long test = limit, remaining = limit;
--multiplicity;
for(unsigned i = 0; i < multiplicity; ++i) {
test /= primorials[index];
remaining /= primes[index];
}
do {
++multiplicity;
test /= primorials[index];
remaining /= primes[index];
result = best_with(remaining, index-1, multiplicity);
for(unsigned i = 0; i < multiplicity; ++i) {
result.number *= primes[index];
}
result.divisors *= multiplicity + 1;
if (result.divisors > best.divisors) {
best = result;
} else if (result.divisors == best.divisors && result.number < best.number) {
best = result;
}
}while(test >= primorials[index]);
return best;
}
void factor(unsigned long long number) {
unsigned long long num = number;
unsigned idx, mult;
printf("%llu =", number);
for(idx = 0; num > 1 && idx < num_primes; ++idx) {
mult = 0;
while(num % primes[idx] == 0) {
num /= primes[idx];
++mult;
}
printf("%s %llu ^ %u", idx ? " *" : "", primes[idx], mult);
}
printf("\n");
}
于 2012-12-04T23:36:41.920 回答
2
对于从 1 到 100 的每个数字，您可以检查它的所有倍数并添加除数。根据您检查每个数字的除数的方式，它可能会更有效。这是一个实现这个想法的python代码。复杂度为 O(N log N)
count=[0]*101
for i in xrange(1,101):
for j in xrange(1,100/i+1):
count[i*j]+=1
print max(zip(count,xrange(101)))
这是C中的代码
int i,j,count[101];
for(i=1;i<=100;i++) for(j=1;j<=100/i;j++) count[i*j]++;
int max=-1,pos;
for(i=1;i<=100;i++) if(count[i]>=max){
max=count[i];
pos=i;
}
printf("%d has %d divisors\n",pos,max);
两个版本都保留了具有最大除数的所有数字中的最大数字。在这种情况下，96 有 12 个除数。
于 2012-12-04T18:00:25.463 回答
1
有一种“更简单的方法”，但它是理论上的，而不是真正的计算机算法。出现了两种不同的情况——一种是“大多数因素”的意思，另一种是因素必须是唯一的。
在第一种情况下，您只需要认识到，为了最大化因子的数量，每个因子都需要尽可能小，即 2。小于 100 的数字具有最多的因子，因此是 2 的最大幂小于 100，恰好是 64。
如果因子必须是唯一的，那么我们只需使用 2、3、5 等（质数）直到下一个累积乘积大于 100 - 在这种情况下 2*3*5=30 是具有最独特的因素。添加第四个因素会使它变成 210，所以这是我们可以达到的最高值。
于 2012-12-04T18:18:34.737 回答
0
您可以从 Eratosthenes 算法的筛子中获得一些想法。唯一的问题是您需要从 2*i 而不是 i*i 运行内部循环。但是这个算法比 O(n^2) 快
int a[]=new int[101],max=0,index=-1;
for(i=2;i<=100;i++)
{
if(a[i]==0)
for(j=2*i;j<=100;j+=i)
a[j]++;
if(a[i]>max)
{
index=i;
max=a[i];
}
这为您提供 30，除数为 3。如果您想要答案中的变体，您可以修改内部循环
于 2012-12-04T18:11:34.800 回答
0
一种方法是避免奇数..
int mostDivisors(int min,int max)
{
int i,j,pc=0,cc=0,no=0;
min=(min%2==0)?min:min+1;//making it even
for(i=min;i<=max;i+=2)//checking only even numbers
{
cc=0;
for(j=2;j<i;j++)//avoiding dividing by 1 and itself
{
if(i%j==0)cc++;
}
if(pc<cc)
{
no=i;
pc=cc;
}
}
return no;
}
于 2012-12-04T18:17:56.697 回答