2

问题已编辑，现在我只想知道是否可以使用队列来改进算法。

我发现了一个混合成本最大流量算法的实现，它使用了 dijkstra： http: //www.stanford.edu/~liszt90/acm/notebook.html#file2

将它粘贴在这里以防它在互联网空白中丢失：

// Implementation of min cost max flow algorithm using adjacency
// matrix (Edmonds and Karp 1972).  This implementation keeps track of
// forward and reverse edges separately (so you can set cap[i][j] !=
// cap[j][i]).  For a regular max flow, set all edge costs to 0.
//
// Running time, O(|V|^2) cost per augmentation
//     max flow:           O(|V|^3) augmentations
//     min cost max flow:  O(|V|^4 * MAX_EDGE_COST) augmentations
//     
// INPUT: 
//     - graph, constructed using AddEdge()
//     - source
//     - sink
//
// OUTPUT:
//     - (maximum flow value, minimum cost value)
//     - To obtain the actual flow, look at positive values only.

#include <cmath>
#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

typedef vector<int> VI;
typedef vector<VI> VVI;
typedef long long L;
typedef vector<L> VL;
typedef vector<VL> VVL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<PII> VPII;

const L INF = numeric_limits<L>::max() / 4;

struct MinCostMaxFlow {
  int N;
  VVL cap, flow, cost;
  VI found;
  VL dist, pi, width;
  VPII dad;

  MinCostMaxFlow(int N) : 
    N(N), cap(N, VL(N)), flow(N, VL(N)), cost(N, VL(N)), 
    found(N), dist(N), pi(N), width(N), dad(N) {}

  void AddEdge(int from, int to, L cap, L cost) {
    this->cap[from][to] = cap;
    this->cost[from][to] = cost;
  }

  void Relax(int s, int k, L cap, L cost, int dir) {
    L val = dist[s] + pi[s] - pi[k] + cost;
    if (cap && val < dist[k]) {
      dist[k] = val;
      dad[k] = make_pair(s, dir);
      width[k] = min(cap, width[s]);
    }
  }

  L Dijkstra(int s, int t) {
    fill(found.begin(), found.end(), false);
    fill(dist.begin(), dist.end(), INF);
    fill(width.begin(), width.end(), 0);
    dist[s] = 0;
    width[s] = INF;

    while (s != -1) {
      int best = -1;
      found[s] = true;
      for (int k = 0; k < N; k++) {
        if (found[k]) continue;
        Relax(s, k, cap[s][k] - flow[s][k], cost[s][k], 1);
        Relax(s, k, flow[k][s], -cost[k][s], -1);
        if (best == -1 || dist[k] < dist[best]) best = k;
      }
      s = best;
    }

    for (int k = 0; k < N; k++)
      pi[k] = min(pi[k] + dist[k], INF);
    return width[t];
  }

  pair<L, L> GetMaxFlow(int s, int t) {
    L totflow = 0, totcost = 0;
    while (L amt = Dijkstra(s, t)) {
      totflow += amt;
      for (int x = t; x != s; x = dad[x].first) {
        if (dad[x].second == 1) {
          flow[dad[x].first][x] += amt;
          totcost += amt * cost[dad[x].first][x];
        } else {
          flow[x][dad[x].first] -= amt;
          totcost -= amt * cost[x][dad[x].first];
        }
      }
    }
    return make_pair(totflow, totcost);
  }
};

我的问题是是否可以通过在 Dijkstra() 中使用优先级队列来改进它。我试过了，但我无法让它正常工作。实际上我怀疑在 Dijkstra 它应该循环相邻节点，而不是所有节点......

非常感谢。

4

2 回答 2

1

当然 Dijkstra 的算法可以通过使用 minheap 来改进。在我们将一个顶点放入最短路径树并处理（即标记）所有相邻顶点之后，下一步是选择尚未在树中的具有最小标记的顶点。
这就是 minheap 想到的地方。我们不是顺序扫描所有顶点，而是从堆中提取最小元素并对其进行重组，这需要 O(logn) 时间 vs O(n)。请注意，堆将只保留那些尚未在最短路径树中的顶点。但是，如果我们更新它们的标签，我们应该能够以某种方式修改堆中的顶点。

于 2014-02-13T11:12:13.490 回答
1

我不太确定使用优先级队列来实现 Dijkstra 的算法实际上会提高运行时间，因为使用优先级队列会减少找到与源的距离最小的顶点所需的时间量 (O(log V) 与优先级队列与朴素实现中的 O(V) 相比，它还增加了处理新边所需的时间量（优先级队列的 O(log V) 与朴素实现中的 O(1)）。

因此，对于简单的实现，运行时间是 O(V^2+E)。

但是，对于优先级队列的实现，运行时间是 O(V log V+E log V)。

对于非常密集的图，E 可能是 O(V^2)，这意味着朴素实现的运行时间为 O(V^2+V^2)=O(V^2)，而优先级队列实现的运行时间为O(V log V+V^2 log V)=O(V^2 log V)。因此，如您所见，在密集图的情况下，优先级队列实现实际上具有更差的最坏情况运行时间。

鉴于编写上述实现的人将边存储为邻接矩阵而不是使用邻接列表，看起来编写此代码的人期望该图是具有 O(V^2) 边的密集图，因此，他们将在这里使用天真的实现而不是优先级队列实现是有道理的。

有关 Dijkstra 算法运行时间的更多信息，请阅读此 Wikipedia 页面。

于 2019-10-27T14:52:00.360 回答