algorithm - 二维双射函数的逆算法

Question

我想写一个函数f_1(a,b) = (x,y)，它近似于 f 的倒数，其中f(x,y) = (a,b)是一个双射函数（在特定范围内）

关于如何获得有效数值近似的任何建议？

使用的编程语言并不重要。

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求解f(x,y)=(a,b)x,y 等效于求f(x,y)-(a,b)(= 0) 的根或最小值，因此您可以使用任何标准的求根或优化算法。如果你自己实现这个，我推荐坐标下降，因为它可能是最简单的算法。您也可以尝试自适应坐标下降，尽管这可能更难分析。

如果你想在一个范围内找到逆，你可以在不同的点计算逆，然后用三次样条进行插值，或者在你想计算逆函数时求解上面的方程。即使您为每个评估求解方程，预先计算一些值仍然可能会有所帮助，以便它们可以用作求解器（例如坐标下降）的初始值。

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没有适用于任何一般功能的“自动”解决方案。即使在 y = f(x) 的简单情况下，也很难找到合适的起点。举个例子：

y = x^2

有一个很好的代数逆

x = sqrt(y)

但是试图用多项式（例如）在 [0..1] 范围内逼近 sqrt 函数非常糟糕。

如果您的范围足够小，并且您的函数表现得足够好，那么您可能会使用 2D 样条曲线进行拟合。如果这可行，那么您应该尝试对 x 和 y 使用独立函数，即使用

y = Y_1(a,b)  and x = X_1(a,b)

而不是更复杂的

(x,y) = F_1(a,b)

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