通读这篇经典论文，我陷入了自相矛盾。不幸的是，该部分很薄，维基百科页面什么也没说。
我的 Haskell 翻译是：
para :: (a -> [a] -> b -> b) -> b -> [a] -> b
para f base = h
where
h [] = base
h (x:xs) = f x xs (h xs)
但我不明白——我对类型签名或期望的结果没有任何直觉。
什么是变形，有哪些有用的例子？
是的，我已经看到了这些 问题，但它们没有直接涉及超态，并且只指出可能作为参考有用的资源，但不能作为学习材料。
是的，就是这样para。与 catamorphism 比较，或foldr：
para :: (a -> [a] -> b -> b) -> b -> [a] -> b
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
para c n (x : xs) = c x xs (para c n xs)
foldr c n (x : xs) = c x (foldr c n xs)
para c n [] = n
foldr c n [] = n
有些人将超态称为“原始递归”，而变态 ( foldr) 称为“迭代”。
其中foldr's 的两个参数为输入数据的每个递归子对象（这里是列表的尾部）给出一个递归计算的值，para's 的参数获取原始子对象和从中递归计算的值。
一个很好地表达的示例函数para是列表的适当满足的集合。
suff :: [x] -> [[x]]
suff = para (\ x xs suffxs -> xs : suffxs) []
以便
suff "suffix" = ["uffix", "ffix", "fix", "ix", "x", ""]
可能更简单的仍然是
safeTail :: [x] -> Maybe [x]
safeTail = para (\ _ xs _ -> Just xs) Nothing
其中“cons”分支忽略其递归计算的参数，只返回尾部。懒惰地评估，递归计算永远不会发生，并且在恒定时间内提取尾部。
您可以很容易地定义foldrusing ；定义frompara有点棘手，但它肯定是可能的，每个人都应该知道它是如何完成的！parafoldr
foldr c n = para (\ x xs t -> c x t) n
para c n = snd . foldr (\ x (xs, t) -> (x : xs, c x xs t)) ([], n)
para定义with的技巧foldr是重建原始数据的副本，以便我们在每一步都可以访问尾部的副本，即使我们无法访问原始数据。最后，snd丢弃输入的副本，只给出输出值。它不是很有效，但如果你对纯粹的表现力感兴趣，para给你的不超过foldr. 如果你使用这个foldr-encoded 版本para，那么safeTail毕竟将花费线性时间，逐个元素地复制尾部元素。
所以，就是这样：这para是一个更方便的版本，foldr它使您可以立即访问列表的尾部以及从中计算出的值。
在一般情况下，使用作为仿函数的递归固定点生成的数据类型
data Fix f = In (f (Fix f))
你有
cata :: Functor f => (f t -> t) -> Fix f -> t
para :: Functor f => (f (Fix f, t) -> t) -> Fix f -> t
cata phi (In ff) = phi (fmap (cata phi) ff)
para psi (In ff) = psi (fmap keepCopy ff) where
keepCopy x = (x, para psi x)
再一次，这两者是相互定义的，para由cata相同的“复制”技巧定义
para psi = snd . cata (\ fxt -> (In (fmap fst fxt), psi fxt))
同样，para并不比 更具表现力cata，但如果您需要轻松访问输入的子结构，则更方便。
编辑：我记得另一个很好的例子。
考虑由Fix TreeFwhere给出的二叉搜索树
data TreeF sub = Leaf | Node sub Integer sub
并尝试为二叉搜索树定义插入，首先是 a cata，然后是 a para。您会发现该para版本要容易得多，因为您需要在每个节点处插入一个子树，但保留另一个子树。