geometry - 如何从两点找到直线的一般形式方程？

Question

给定输入：

double x1,y1,x2,y2;

如何找到一般形式的方程 (double a,b,c where ax + by + c = 0) ？

注意：我希望能够通过计算来做到这一点。所以斜率截距形式的等价物是这样的：

double dx, dy;
double m, b;

dx = x2 - x1;
dy = y2 - y1;
m = dy/dx;
b = y1;

显然，这很简单，但我一直没能找到一般方程形式的解（这更有用，因为它可以做垂直线）。我已经看过我的线性代数书和两本关于计算几何的书（都太先进了，无法解释这一点）。

Answer 1

如果你从方程开始y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)（这是由两点定义的直线方程），通过一些操作你可以得到(y1-y2) * x + (x2-x1) * y + (x1-x2)*y1 + (y2-y1)*x1 = 0，你可以认识到：

• a = y1-y2,
• b = x2-x1,
• c = (x1-x2)*y1 + (y2-y1)*x1.

Answer 2

两点相减得到正切(x2-x1, y2-y1)。对其进行归一化并旋转 90 度以获得法线向量(a,b)。取其中一个点的点积得到常数，c。

Answer 3

如果从 2 点定义线的方程开始

(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1)

你可以得到下一个等式

x(y2 - y1) - y(x2 - x1) - x1*y2 + y1*x2 = 0

所以系数将是：

• a = y2 - y1
• b = -(x2 - x1) = x1 - x2
• c = y1*x2 - x1*y2

我在 C 中的算法实现

inline v3 LineEquationFrom2Points(v2 P1, v2 P2) {
    v3 Result;

    Result.A = P2.y - P1.y;
    Result.B = -(P2.x - P1.x);
    Result.C = P1.y * P2.x - P1.x * P2.y;

    return(Result);
}

Answer 4

捷径步骤：“问题：(4,5) (3,-7) ” 求解：m=-12/1然后 12x-y=48 ”注：m 是斜率” 复制分子，后缀“X”正分数负号之间。(tip: simmilar sign = add + copy the sign) 1.将第二组改为相反的符号，2.ADD y1 to y2（表示根据符号添加或减去它们），3.ADD x1 to x2（也意味着添加或根据符号减去它们），4.然后将 12 和 1 乘以任何问题集。在那之后“ BOOM ” Tada！，你有你的答案

Answer 5

#include <stdio.h>
main()
{
    int a,b,c;
    char x,y;
    a=5;
    b=10;
    c=15;
    x=2;
    y=3;
    printf("the equation of line is %dx+%dy=%d" ,a,b,c);
}