javascript - 确定一个 2D 向量是在另一个向量的右侧还是左侧

Question

给定两个二维向量，如何判断第二个向量是在第一个向量的右侧（顺时针）还是在左侧（逆时针）？

例如，在这些图中，B 在 A 的右侧（逆时针）

A   B   .       .----> A
^  ¬    |\      |   
| /     | \     |  
|/      V  \    V 
.       B   A   B

Answer 1

您可以使用点积来实现这一点。dot(a, b) == a.x*b.x + a.y*b.y可以用来判断向量是否垂直：

var dot = a.x*b.x + a.y*b.y
if(dot > 0)
    console.log("<90 degrees")
else if(dot < 0)
    console.log(">90 degrees")
else
    console.log("90 degrees")

换一种方式。dot > 0告诉你是否a是“在前面” b。

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假设b在 的右边a。逆时针旋转b90 度将其放在 前面a。
现在假设b在 的左边a。逆时针旋转b90 度会将其置于后面a。

因此， 的符号dot(a, rot90CCW(b))告诉您 b 是在 a 的右侧还是左侧，其中rot90CCW(b) == {x: -b.y, y: b.x}。

简单化：

var dot = a.x*-b.y + a.y*b.x;
if(dot > 0)
    console.log("b on the right of a")
else if(dot < 0)
    console.log("b on the left of a")
else
    console.log("b parallel/antiparallel to a")

Answer 2

在@Eric 的评论中的澄清中，“如果 A 指向前方，B 在它的哪一边？”

在这个公式中，答案非常简单。“A” 指向前方，如示例中所示，当其 x 坐标为零时。有了这个假设，“B”在其 x 坐标为正时在右侧，在负时在左侧，在零时都不在。

将此说明扩展到一般位置的“A”意味着引入一个新的坐标系，如下所示：“在 A 指向前方的坐标系中，......”。最简单的新坐标系是基向量为A和的坐标系(1,0)。（如果 A 是 的倍数(1,0)，那么它只是基本情况的 90 度旋转。）坐标变换是L : P = (P_x, P_y) --> P' = (P'_x, P'_y) = (A_y * P_x - A_x * P_y, P_y)。这种线性变换称为偏斜变换。测试是坐标的符号P'_x。检查 L 是否将 A 带到新坐标系中的向量 (0,1)。此方法使用与其他答案相同的算术。

我写了这个，以便更深层次的几何内容可能会有所启发。

Answer 3

如果向量是正交的，则点积方法不起作用。对于一般情况，您希望使用矩阵 [AB] 的行列式的符号，其中 A 和 B 是您的列向量。一个伪代码是

c=sign(det([AB]))

这里，如果 c>0 表示 B 在左侧。这将根据矩阵中 A 和 B 的顺序进行切换。

Answer 4

@Eric 但是当矢量大小变化很大时，您的点积存在一个基本问题。

var dot = ax*-by + ay*bx;

如果 a(2,-2) 和 b(-500,-500) 显然 B 在 a 的左侧，但是做点积会大于 0。