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有人可以向我解释为什么使用相邻矩阵的 Prim 算法会导致时间复杂度为0 吗?O(V2)

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(抱歉,ASCII 数学看起来很草率,我认为我们不能使用 LaTEX 来排版答案)

实现 Prim 算法O(V^2)复杂性的传统方法是除了邻接矩阵之外还有一个数组,让我们称它为distance该顶点到节点的最小距离。

这样,我们只检查distance找到下一个目标,并且由于我们这样做 V 次并且有 V 个成员distance,我们的复杂性是O(V^2)

这本身是不够的,因为原始值distance很快就会过时。要更新这个数组,我们所做的就是在每一步结束时,遍历我们的邻接矩阵并distance适当地更新。这不会影响我们的时间复杂度,因为它仅仅意味着每一步都需要O(V+V) = O(2V) = O(V). 因此我们的算法是O(V^2)

如果不使用distance,我们必须每次遍历所有 E 边,最坏的情况是包含 V^2 边,这意味着我们的时间复杂度为O(V^3).

证明:

为了证明没有distance数组就不可能及时计算 MST O(V^2),请考虑在每次使用大小为 的树的迭代中n,都有V-n可能添加的顶点。

要计算选择哪一个,我们必须检查每一个以找到它们与树的最小距离,然后将其相互比较并找到那里的最小值。

在最坏的情况下,每个节点都包含与树中每个节点的连接,导致 n * (Vn) 条边和O(n(V-n)).

由于我们的总数将是当 n 从 1 到 V 时每个步骤的总和,所以我们的最终时间复杂度是:

(sum O(n(V-n)) as n = 1 to V) =  O(1/6(V-1) V (V+1)) = O(V^3)

量子点

于 2012-10-30T05:17:29.143 回答
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注意:这个答案只是借用了jozefg的答案并试图更充分地解释它,因为我在理解之前必须考虑一下。

背景

图的邻接矩阵表示构造了一个 V x V 矩阵(其中 V 是顶点数)。单元格 (a, b) 的值是连接顶点 a 和 b 的边的权重,如果没有边则为零。

Adjacency Matrix

   A B C D E
--------------
A  0 1 0 3 2
B  1 0 0 0 2
C  0 0 0 4 3
D  3 0 4 0 1
E  2 2 3 1 0

Prim's Algorithm是一种算法,它采用图和起始节点,并在图上找到最小生成树 - 即它找到边的子集,以便结果是包含所有节点和组合边的树权重被最小化。可以总结如下:

  1. 将起始节点放在树中。
  2. 重复直到所有节点都在树中:
    1. 找到将树中的节点连接到树中的节点的所有边。
    2. 在这些边缘中,选择一个重量最小的边缘。
    3. 将该边和连接的节点添加到树中。

分析

我们现在可以开始分析算法,如下所示:

  1. 在循环的每次迭代中,我们向树中添加一个节点。由于有 V 个节点,因此该循环有 O(V) 次迭代。
  2. 在循环的每次迭代中,我们需要在树中找到并测试边。如果有 E 条边,朴素搜索实现使用 O(E) 来找到权重最小的边。
  3. 所以结合起来,我们应该期望复杂度是 O(VE),在最坏的情况下可能是 O(V^3)。

然而,jozefg 给出了一个很好的答案来展示如何实现 O(V^2) 复杂度。

Distance to Tree

            | A  B  C  D  E
            |----------------
Iteration 0 | 0  1* #  3  2
          1 | 0  0  #  3  2*
          2 | 0  0  4  1* 0
          3 | 0  0  3* 0  0
          4 | 0  0  0  0  0

NB. # = infinity (not connected to tree)
    * = minimum weight edge in this iteration

这里距离向量表示将每个节点连接到树的最小加权边,使用如下:

  1. 使用复杂度 O(V) 到起始节点 A 的边缘权重进行初始化。
  2. 要找到下一个要添加的节点,只需找到距离的最小元素(并将其从列表中删除)。这是 O(V)。
  3. 添加一个新节点后,有 O(V) 条新边将树连接到其余节点;对于这些中的每一个,确定新边的权重是否小于现有距离。如果是,更新距离向量。再次,O(V)。

使用这三个步骤将搜索时间从 O(E) 减少到 O(V),并增加了一个额外的 O(V) 步骤来在每次迭代时更新距离向量。由于现在每次迭代都是 O(V),因此总体复杂度是 O(V^2)。

于 2012-10-30T05:49:10.333 回答
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首先,显然至少是 O(V^2),因为这就是邻接矩阵的大小。

查看http://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm,您需要执行步骤“重复直到 Vnew = V”V 次。

在该步骤中,您需要计算出 V 中的任何顶点与 V 之外的任何顶点之间的最短链接。维护一个大小为 V 的数组,为每个顶点保存无穷大(如果顶点在 V 中)或最短的长度V 中的任何顶点和那个顶点之间的链接,以及它的长度(所以一开始这只是来自起始顶点和每个其他顶点之间的链接长度)。要找到下一个要添加到 V 的顶点,只需搜索这个数组,成本为 V。一旦你有了一个新顶点,查看从该顶点到每个其他顶点的所有链接,看看它们中是否有从 V 到的较短链接那个顶点。如果有,请更新数组。这也花费了V。

因此,您有 V 个步骤(要添加的 V 个顶点),每个步骤花费 V,这给您 O(V^2)

于 2012-10-30T05:27:45.063 回答