probability - 我需要多少次选择随机数 [1,N] 才能得到特定的数字 k

Question

我正在努力证明一些关于概率和统计的东西。

我需要多少次从 [1,N] 中选择一个随机数来获得特定的数字 k，其中 k 在 [1,N]

start = random(1,N);
count = 1;
do
{
   end = random(1,N);
   count++;
}while (start!=end);

我的实验得出的结论是，如果我对相同的 N 值重复上述程序 100 次，那么计数的平均值 ~ N。我不知道如何从理论上证明这一点。

任何人都可以帮助我证明这一点。任何帮助，将不胜感激。

Answer 1

每次你在1和之间选择一个随机数N，你就有一个得到等于的概率，和一个得到不同的等于的概率。k1/N(N-1)/N

一旦你知道了这一点，你就可以计算进入的概率k：

• 1个镜头：P1 = 1/N
• 2个镜头：P2 = (N-1)/N * 1/N
• 3个镜头：P3 = (N-1/N * (N-1)/N * 1/N
• ...

您必须选择一个随机数才能获得的预期次数k是：

1 * P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4...

这是一个收敛到 value 的级数N。