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由于_+_-Operation forNat通常是在第一个参数中递归定义的，因此类型检查器知道它显然不是微不足道的i + 0 == i。但是，当我在固定大小的向量上编写函数时，我经常遇到这个问题。

一个例子：我如何定义一个 Agda 函数

swap : {A : Set}{m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)

哪个将第一个n值放在向量的末尾？

由于 Haskell 中的一个简单解决方案是

swap 0 xs     = xs
swap n (x:xs) = swap (n-1) (xs ++ [x])

我在 Agda 中类似地尝试过，如下所示：

swap : {A : Set}{m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)    
swap {_} {_} {zero} xs          = xs 
swap {_} {_} {suc i} (x :: xs)  = swap {_} {_} {i} (xs ++ (x :: []))

但是类型检查器失败并显示消息（与{zero}上述swap-Definition 中的 -case 相关）：

.m != .m + zero of type Nat
when checking that the expression xs has type Vec .A (.m + zero)

所以，我的问题是：如何教 Agda m == m + zero？以及如何swap在 Agda 中编写这样的函数？

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教 Agdam == m + zero并不太难。例如，使用等式证明的标准类型，我们可以写出这样的证明：

rightIdentity : (n : Nat) -> n + 0 == n
rightIdentity zero = refl
rightIdentity (suc n) = cong suc (rightIdentity n)

rewrite然后我们可以使用关键字告诉 Agda 使用这个证明：

swap : {A : Set} {m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)    
swap {_} {m} {zero} xs rewrite rightIdentity m = xs 
swap {_} {_} {suc i} (x :: xs) = ?

然而，为第二个等式提供必要的证明要困难得多。一般来说，尝试使您的计算结构与您的 types 的结构相匹配是一个更好的主意。这样，您就可以少做定理证明（或者在这种情况下没有）。

例如，假设我们有

drop : {A : Set} {m : Nat} -> (n : Nat) -> Vec A (n + m) -> Vec A m
take : {A : Set} {m : Nat} -> (n : Nat) -> Vec A (n + m) -> Vec A n

（这两者都可以在没有任何定理证明的情况下定义），Agda 很乐意接受这个定义，而不用大惊小怪：

swap : {A : Set} {m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)
swap {_} {_} {n} xs = drop n xs ++ take n xs
于 2012-10-18T16:00:57.370 回答