我正在用球体上的粒子进行 Metropolis Monte Carlo 模拟，并且对给定时间步长内的随机运动有疑问。
我知道要在球体上获得均匀分布的随机点，首先使用天真的最简单的方法是不够的（使用具有恒定 R 的球面坐标并选择随机角度 theta 和 phi），但必须例如使用这些方法之一：http: //mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html
查看球体上蒙特卡洛的另一个代码，我看到了一种相当复杂的生成随机移动的方法：选择一个随机粒子，计算将其移动到北极的旋转矩阵，找到一个小于一定长度的随机笛卡尔向量并移动将其指向北极，对笛卡尔向量进行归一化，然后将其旋转回原始粒子位置附近。
这一切都是为了得到一个无偏的新随机位置。尽管我怀疑它与详细的平衡有关，但我并不完全理解其中的原理。但我的感觉是应该有一种更简单（即更快）的方法来做到这一点。实际上，直觉上我觉得在这种情况下可以找到两个小的随机角度 theta 和 phi 并将它们添加到粒子的位置 - 或者这会是一个错误吗？
您描述的算法背后的基本原理是将点映射到极点，生成切平面，以通常的方式均匀生成笛卡尔向量，然后将其映射回球体，最终反转旋转。由于切平面是导数，因此对于大球体和小步长，这是一个很好的近似值。
我们能做得更好吗？或者至少窃取别人的代码？也许。考虑一下：由于MathWorld 上的那篇文章，您已经可以在球体上生成均匀分布的随机点。
不失一般性，您可以将当前点视为球体的一极。如果你使用 MathWorld 算法生成一个随机点，你就知道生成的点在任何方位角的概率是一致的。
然后问题被简化为在给定两个点的 phi/theta 值的情况下找到球体上的方位，然后沿该方位的大圆路线生成一个增量表面距离的新点。
对于这个新版本的问题，您可以通过导入您喜欢的 GIS 或投影库并使用地球的球形模型（具有适当的缩放比例）来获得所需的所有代码。
许多人似乎将此站点称为在球形导航方面拥有大量出色的数学知识。
我想自己使用评论来回答上面的评论，但我不能使用为评论保留的有限空间来回答。如果这违反了准则，我很抱歉。
既然你问了，万一其他人在这里结束 - 我确实对这个问题有一些新的见解：
这里我们真正需要担心的是细节平衡；如果 P(a) 是处于状态 a 的概率并且 P(a->b) 是转换到状态 b 的概率，那么详细的平衡需要 P(a)P(a->b)=P(b) P(b->a)。
Metropolis 算法基本上通过使 P(a->b)=1 如果 P(b)/P(a) > 1 和 P(a->b)=P(b)/P(a) 来满足这一点。在我的（量子力学）系统中，我使用 P(a)~|psi(a)|^2，波函数的平方（在统计力学应用中，我猜我们会使用 P(a)~exp[-beta*E]） .
在一个球体上使用它的问题是从角度空间 {theta,phi}={t,p} 中的均匀分布获得的步骤如下：假设我们在一个具有给定角度 t 的点（一个测量角度从北极沿 z 轴）。从表面元素 dS=sin(t) dt dp 我们看到，如果我们的随机角位移是 Dt 和 Dp，则选择的新试验点位于区域 S=4*Dp*sin(Dt)*sin(t) 内，所以选择给定点 p_b 的机会是 ~1/S ~ 1/sin(t)。
除了评估 |psi(a)|^2 之外，尝试给定点的概率当然会影响 P(a->b)；事实上，我们看到它会将后者除以因子 sin(t)。因此，保存详细平衡的一种简单方法是乘以相同的： P(a->b) --> P(a->b)sin(t) 其中 t 是粒子 a 的 theta 角。
这将恢复详细的平衡。另一个问题是这将如何影响收敛等，因为两极附近的粒子现在有小步长但接受概率大。