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我遇到了以下动态编程问题。

你有一个整数网格（所以包括负数）。找到数字总和最大的矩形。

知道如何为整个矩阵做这件事吗？

我为单个数组解决了它，所以我几乎遵循最长递增子序列所做的事情，但仅适用于连续数字。 

def array_largest_block(sequence)
  len = sequence.size
  parents = [nil]*len
  my_largest = sequence
  largest = sequence.max

  for index in (1...len)
    if my_largest[index] < my_largest[index] + my_largest[index - 1]
      my_largest[index] = my_largest[index] + my_largest[index - 1]
      parents[index] = index - 1
      largest = [largest, my_largest[index]].max
    end
  end

  end_index_of_largest_block = my_largest.find_index(largest)
  i = end_index_of_largest_block
  res = []
  res << sequence[i]
  while !parents[i].nil?
    i = parents[i]
    res << sequence[i]
  end
  return {l_sum: largest, start: i, end: end_index_of_largest_block}
end

所以我的想法是，

  1. 找到矩阵中每个正方形的总和（仅 1x1 正方形）
  2. 保存最大值以获得可能的答案
  3. 从可能的最小矩形开始运行相同的东西并计算所有它们，直到找到最大值。哪个是数据库部分。

有任何想法吗？或者如果你们不知道确切的解决方案，我应该看哪种 DP 类型算法？

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2 回答 2

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这可以在 中完成O(N^3)，其中N是矩阵的大小。

您基本上选择矩形的左右列，然后以线性时间扫描行（使用预先计算的总和）。

int totalBestSum = -10000000;
for (int leftCol = 1; leftCol <= N; leftCol++)
   for (int rightCol = leftCol; rightCol <= N; rightCol++)
   {
      int curSum = 0, curBestSum = -10000000;
      for (int row = 1; row <= N; row++) {
         int rowSum = sumBetween(leftCol, rightCol, row);
         curSum += rowSum;
         if (curSum > curBestSum) curBestSum = curSum;
         if (curSum < 0) curSum = 0;                   
      }

      if (curBestSum > totalBestSum) totalBestSum = curBestSum;
   }

sumBetween是一个函数，返回两列之间特定行上的数字之和。它可以使用预先计算的和在恒定时间内实现。

int sumBetween(int leftCol, int rightCol, int row)
{
    return sum[row][rightCol] - sum[row][leftCol - 1];
}

计算sum数组：

for (int row = 1; row <= N; row++)
   for (int col = 1; col <= N; col++)
      sum[row][col] = sum[row][col - 1] + matrix[row][col];
于 2012-10-08T17:11:49.407 回答
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似乎是重复的，但仍然请看这里：Getting the submatrix with maximum sum?

可以在O(N^3).

你到底为什么要使用“NP-complete”标签？：D

于 2012-10-08T17:11:52.430 回答