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我有一个优化问题，其中有 5 个变量：A、B1、B2、C1、C2。我正在尝试优化这 5 个变量以获得最小的和平方根值。我有一些工作正常的优化技术，但这个特别给我带来了一些麻烦。

我想探索所有 32 个更改变量的选项并选择最小的 RSS 值。我的意思是每个变量都可以是 +/- 一个增量。每个选择都会导致另外 2 个选择，有 5 个变量，即 32 个选择。( 2^5 )

为了澄清，我没有将我的变量：A、B1、B2 等相互添加，我将它们增加/减少任意数量。A +/- X、B1+/- X2 等。我试图找出我的 5 个变量的递增/递减组合将返回最低的平方根值。

                                   A
                                 +/ \-
                                B1   B1
                               +/\- +/\-
                              B2 B2 B2 B2

以此类推，直到所有 5 个级别都完成。我什至不确定从哪里开始尝试解决这个问题。什么样的数据结构最适合存储它？它是迭代解决方案还是递归解决方案。我不需要问题的答案，而是需要寻找的地方或开始的地方。再次感谢您花时间看这个。

为了澄清进一步的混淆，这是我的优化方法。我有 5 个变量和 5 个增量，每个增量都匹配一个变量。(a,b,c,d,e,f) ---> (incA, incB, incC, indD, incE, incF)

我想找到 +/- incX 到 X 的最佳组合（x 是 5 个变量之一）即：解决方案可能类似于：a+incA、B-incB、c+incC、d+incD、e+ INCE，F-INCF。有 32 种组合的可能性，在阅读了下面的所有答案后，我已经确定了这种可能的算法。（请参阅下面的答案）根据需要进行编辑和提问。这不是一个完美的算法，它是为了澄清和易于理解，我知道它可以被浓缩。

//Settign all possible solutions to be iterated through later.
double[] levelA = new double[2];
double[] levelB = new double[2];
double[] levelC = new double[2];
double[] levelD = new double[2];
double[] levelE = new double[2];

levelA[0] = a + incA;
levelA[1] = a - incA;
levelB[0] = b + incB;
levelB[1] = b - incB;
levelC[0] = c + incC;
levelC[1] = c - incC;
levelD[0] = d + incD;
levelD[1] = d - incD;
levelE[0] = e + incE;
levelE[1] = e - incE;

double[] rootSumAnswers = new double[32];
int count = 0;

for(int i = 0; i < 2; i ++)
{
    for(int k = 0; k < 2; k++)
    {
        for(int j = 0; j < 2; j ++)
        {
            for(int n = 0; n < 2; n++)
            {
                for(int m = 0; m < 2; m++)
                {
                    rootSumAnswers[count++] = calcRootSum(levelA[i], levelB[k], levelC[j], levelD[n], levelE[m]);

                }
            }
        }
    }
}

//Finally, i find the minimum of my root sum squares and make that change permanent, and do this again.
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4 回答 4

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您可以使用以下函数生成包含所有可能操作集的集合（例如 {-,-,-,-}, {-,-,-,+}, {-,-,+,-} 等）将输出一个布尔数组列表，其中 true 和 false 代表 + 和 -。该vars参数表示要组合的变量的数量。请注意，对于 5 个变量，只有 16 个组合（不是您所说的 32 个），因为组合 5 个变量时只有 4 个运算符（假设第一个变量不能被否定）：

public List<bool[]> GetOperators(int vars)
{
    var result = new List<bool[]>();

    for (var i = 0; i < 1 << vars-1; i++)
    {
        var item = new bool[vars - 1];
        for (var j = 0; j < vars-1; j++)
        {
            item[j] = ((i >> j) & 1) != 0;
        }
        result.Add(item);
    }
    return result;
}

获得此列表后，您可以使用它以所有可能的方式组合变量。首先，我们定义一个辅助函数来获取一组变量和单个bool[]组合并应用它（它假设组合中的元素数量对于传递的变量数量是正确的）：

private double Combine(double[] vars, bool[] combination)
{
    var sum = vars[0];
    for (var i = 1; i< vars.Length; i++)
    {
        sum = combination[i - 1] ? sum + vars[i] : sum - vars[i];
    }
    return sum;
}

您还可以使用以下方法很好地格式化组合：

private string FormatCombination(double[] vars, bool[] combination)
{
    var result = vars[0].ToString("0.00##");
    for (var i = 1; i < vars.Length; i++)
    {
        result = string.Format("{0} {1} {2:0.00##}", result, combination[i - 1] ? "+" : "-", vars[i]);
    }
    return result;
}

将它们放在一起以测试所有可能的组合：

var vars = new []
{
    1.23, // A
    0.02, // B1
    0.11, // B2
    0.05, // C1
    1.26  // C2
};

foreach (var combination in GetOperators(vars.Length))
{
    var combined = Combine(vars, combination);

    // Perform your operations on "combined" here...

    Console.WriteLine("{0} = {1}", FormatCombination(vars, combination), combined);
}

这将输出：

1.23 - 0.02 - 0.11 - 0.05 - 1.26 = -0.21
1.23 + 0.02 - 0.11 - 0.05 - 1.26 = -0.17
1.23 - 0.02 + 0.11 - 0.05 - 1.26 = 0.01
1.23 + 0.02 + 0.11 - 0.05 - 1.26 = 0.05
1.23 - 0.02 - 0.11 + 0.05 - 1.26 = -0.11
1.23 + 0.02 - 0.11 + 0.05 - 1.26 = -0.07
1.23 - 0.02 + 0.11 + 0.05 - 1.26 = 0.11
1.23 + 0.02 + 0.11 + 0.05 - 1.26 = 0.15
1.23 - 0.02 - 0.11 - 0.05 + 1.26 = 2.31
1.23 + 0.02 - 0.11 - 0.05 + 1.26 = 2.35
1.23 - 0.02 + 0.11 - 0.05 + 1.26 = 2.53
1.23 + 0.02 + 0.11 - 0.05 + 1.26 = 2.57
1.23 - 0.02 - 0.11 + 0.05 + 1.26 = 2.41
1.23 + 0.02 - 0.11 + 0.05 + 1.26 = 2.45
1.23 - 0.02 + 0.11 + 0.05 + 1.26 = 2.63
1.23 + 0.02 + 0.11 + 0.05 + 1.26 = 2.67

编辑：

根据您对问题的更改，我已经更新了我的答案。正如其他人所提到的，可能没有必要使用这样的完整搜索，但无论如何您可能会发现该方法很有用。

GetOperators()稍微改变以返回 2 n 个组合（而不是像以前那样的 2 n-1）：

public List<bool[]> GetOperators(int vars)
{
    var result = new List<bool[]>();

    for (var i = 0; i < 1 << vars; i++)
    {
        var item = new bool[vars];
        for (var j = 0; j < vars; j++)
        {
            item[j] = ((i >> j) & 1) != 0;
        }
        result.Add(item);
    }
    return result;
}

除了要使用的变量和组合之外，该Combine()方法已更改为采用一组增量。对于组合的每个元素，如果是true，则将增量添加到变量中，如果为假，则减去：

private double[] Combine(double[] vars, double[] increments, bool[] combination)
{
    // Assuming here that vars, increments and combination all have the same number of elements
    var result = new double[vars.Length];
    for (var i = 0; i < vars.Length; i++)
    {
        result[i] = combination[i] ? vars[i] + increments[i] : vars[i] - increments[i];
    }

    // Returns an array of the vars and increments combined per the given combination
    // E.g. if there are 5 vars and the combination is: {true, false, true, true, false}
    // The result will be {var1 + inc1, var2 - inc2, var3 + inc3, var4 + inc4, var 5 - inc5}
    return result;
}

并且FormatCombination()还更新为显示新的组合样式：

private string FormatCombination(double[] vars, double[] increments, bool[] combination)
{
    var result = new List<string>(vars.Length);

    var combined = Combine(vars, increments, combination);

    for (var i = 0; i < vars.Length; i++)
    {
        result.Add(string.Format("{0:0.00##} {1} {2:0.00##} = {3:0.00##}", vars[i], combination[i] ? "+" : "-", increments[i], combined[i]));
    }
    return string.Join(", ", result.ToArray());
}

把它们放在一起：

var vars = new[]
{
    1.23, // A
    0.02, // B
    0.11, // C
    0.05, // D
    1.26, // E
};

var increments = new[]
{
    0.04, // incA
    0.11, // incB
    0.01, // incC
    0.37, // incD
    0.85, // incD
};

foreach (var combination in GetOperators(vars.Length))
{
    var combined = Combine(vars, increments, combination);

    // Perform operation on combined here...

    Console.WriteLine(FormatCombination(vars, increments, combination));
}

输出（删节）：

1.23 - 0.04 = 1.19, 0.02 - 0.11 = -0.09, 0.11 - 0.01 = 0.10, 0.05 - 0.37 = -0.32, 1.26 - 0.85 = 0.41
1.23 + 0.04 = 1.27, 0.02 - 0.11 = -0.09, 0.11 - 0.01 = 0.10, 0.05 - 0.37 = -0.32, 1.26 - 0.85 = 0.41
1.23 - 0.04 = 1.19, 0.02 + 0.11 = 0.13, 0.11 - 0.01 = 0.10, 0.05 - 0.37 = -0.32, 1.26 - 0.85 = 0.41
1.23 + 0.04 = 1.27, 0.02 + 0.11 = 0.13, 0.11 - 0.01 = 0.10, 0.05 - 0.37 = -0.32, 1.26 - 0.85 = 0.41
...
于 2012-10-05T16:51:44.710 回答
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回答当前版本的问题

您根本不需要在这里进行任何搜索。对于每个变量，选择A +/- incA绝对值最小的符号（+ 或 -）（换句话说，产生最小平方的符号A +/- inc A）。这最小化了平方和中的所有项，因此最小化了整个总和。

上一个答案

假设您想sqrt(A*A +/- B1*B1 +/- B2*B2 +/- C1*C1 +/- C2*C2)通过选择合适的符号+或来最小化-，只需遍历 32 种可能的组合，然后选择产生最小结果的组合。要遍历所有组合，请注意如果您遍历整数 0 到 31，并查看它们的二进制表示，您会发现5 个 0 和 1 的所有组合。进一步观察，您可以找出特定整数 n 在二进制数 k 处是否包含 1，您只需要检查 n 和 2 的 k 次方的按位与是否非零。因此，在伪代码中，您会这样做

min_sign_a = 1
min_sign_b1 = 1
min_sign_b2 = 1
min_sign_c1 = 1
min_sign_c2 = 1
min_sum = a*a + b1*b1 + b2*b2 + c1*c1 + c2*c2
for(i in 1,...,31)
  sign_a = (i & 1) ? -1 : 1
  sign_b1 = (i & 2) ? -1 : 1
  sign_b2 = (i & 4) ? -1 : 1
  sign_c1 = (i & 8) ? -1 : 1
  sign_c2 = (i & 16) ? -1 : 1
  sum = sign_a*a*a + sign_b1*b1*b1 + sign_b2*b2*b2 + sign_c1*c1*c1 + sign_c2*c2*c2
  if (sum < min_sum)
    min_sign_a = sign_a
    min_sign_b1 = sign_b1
    min_sign_b2 = sign_b2
    min_sign_c1 = sign_c1
    min_sign_c2 = sign_c2
  end
end

这里，“&”代表按位与。i 的第 k 位中的 1 给第 k 个变量一个负号，一个零给它一个正号。情况“i = 0”，即循环开始之前处理的所有符号都是正数，以避免在循环的第一次运行中必须处理min_sum未初始化的问题。

于 2012-10-05T16:51:13.320 回答
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由于我的第一个答案被删除，因为它是伪代码而不是 c#...我将抽象集更改为堆栈...

我认为一个很好的递归方法有效：

int FindBest(int increment, Stack<int> decided_vars, Stack<int> free_vars)
{
  if free_vars.size() == 0
  {
     return PerformCalculation(decided_vars);
  }

  int new_element = free_vars.Pop()
  new_element += increment;

  //check one case
  decided_vars.Push(new_element)
  int result1 = FindBest(increment, decided_vars, free_vars)

  //reset sets for second case
  decided_vars.Pop();
  new_element -= 2 * increment;
  decicded_vars.Push(new_element);
  int result2 = FindBest(increment, decided_vars, free_vars);

  //reset sets as they were to give back to parent
  decided_vars.Pop()
  free_vars.Push( new_element + increment )

  return max(result1, result2);
}

您可以将 PerformCalculation 定义为要最大化/最小化的函数。

于 2012-10-05T17:36:13.063 回答
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优化多个参数的一个好方法是Nelder-Mead 方法或 Downhill Simplex 方法。它以一种非常自然的方式“遍历”参数空间，而无需测试每个排列。另见下坡单纯形法（用良好的图形显示原理）。

我还在C# 中找到了一个代码；但是，我没有测试它。

于 2012-10-05T17:55:42.333 回答