proof - 证明大欧米茄

Question

问题：

(5n^2)(ln(n)) 是 n(ln(n)^2) 的大欧米茄

我试过的：

存在 c > 0, n0 > 0

(5n^2)(ln(n)) >= cn(ln(n)^2) 对于所有 n >= n0

(5n^2)(ln(n)) >= n(ln(n)) (对于 n >= 1) >= n(ln(n)^2) (对于 n <= 1)

因此得出结论，当 n = 1 = n0 时，(5n^2)(ln(n)) 是 n(ln(n)^2) 的大欧米伽；但这不符合（对于所有 n >= n0）的要求。

我被困在这里，有人可以帮忙吗？

Answer 1

我的第一个想法：

如果

 (5n^2)(ln(n)) is big omega of n(ln(n)^2)

然后

 (5n) is big omega of ln(n)

这是根本。看;

exists
    c = 1 and n0 = 1,
such that
    5n >= ln(n); for all n >= n0

扩展前几个元素的系列给出：

 -------------------------
|   n   |   5n   | ln(n)  |
|-------|--------|--------|
|    1  |     5  |  0.00  |
|    2  |    10  |  0.69  |
|    3  |    15  |  1.10  |
|    4  |    20  |  1.39  |
|    5  |    25  |  1.61  |
|   10  |    50  |  2.30  |
|  100  |   500  |  4.61  |
| 1000  |  5000  |  6.91  |
 -------------------------

Answer 2

如果我正确理解您的符号：对于所有 n>e，n.ln(n)>0，允许您将问题更改为证明 5.n 是 ln(n) 的一个大欧米茄。显然，您不仅有 ln(n) = O(n)，而且还有 ln(n) = o(n)，因为 lim(ln(n)/n)=0 表示 n-> 无穷大。让我想知道问题中是否确实缺少某些东西，因为当它也很小的时候问它是否是大 O 很奇怪......