该prob包以数值方式评估基本 R 分布的特征函数。对于几乎所有的分布，都有现有的公式。但是，对于少数情况，没有已知的封闭形式的解决方案。恰当的例子：威布尔分布（但见下文）。
对于 Weibull 特征函数，我基本上计算两个积分并将它们放在一起：
fr <- function(x) cos(t * x) * dweibull(x, shape, scale)
fi <- function(x) sin(t * x) * dweibull(x, shape, scale)
Rp <- integrate(fr, lower = 0, upper = Inf)$value
Ip <- integrate(fi, lower = 0, upper = Inf)$value
Rp + (0+1i) * Ip
是的，它很笨拙，但效果却出奇的好！……嗯，大多数时候。一位用户最近报告了以下中断：
cfweibull(56, shape = 0.5, scale = 1)
Error in integrate(fr, lower = 0, upper = Inf) :
the integral is probably divergent
现在，我们知道积分不是发散的，所以它一定是一个数值问题。通过一些摆弄，我可以得到以下工作：
fr <- function(x) cos(56 * x) * dweibull(x, 0.5, 1)
integrate(fr, lower = 0.00001, upper = Inf, subdivisions=1e7)$value
[1] 0.08024055
没关系，但它并不完全正确，而且它需要相当多的摆弄，这不能很好地扩展。我一直在研究这个以获得更好的解决方案。我发现了一个最近发布的特征函数的“封闭形式” scale > 1（见这里），但它涉及赖特的广义合流超几何函数，它还没有在 R 中实现。我查看了integrate替代品的档案，那里有很多东西似乎组织得不太好。
作为搜索的一部分，我想到通过反正切将积分区域转换为有限区间，瞧！看看这个：
cfweibull3 <- function (t, shape, scale = 1){
if (shape <= 0 || scale <= 0)
stop("shape and scale must be positive")
fr <- function(x) cos(t * tan(x)) * dweibull(tan(x), shape, scale)/(cos(x))^2
fi <- function(x) sin(t * tan(x)) * dweibull(tan(x), shape, scale)/(cos(x))^2
Rp <- integrate(fr, lower = 0, upper = pi/2, stop.on.error = FALSE)$value
Ip <- integrate(fi, lower = 0, upper = pi/2, stop.on.error = FALSE)$value
Rp + (0+1i) * Ip
}
> cfweibull3(56, shape=0.5, scale = 1)
[1] 0.08297194+0.07528834i
问题：
- 你能做得比这更好吗？
- 是否有一些关于数值积分例程的东西，这些事情的专家可以对这里发生的事情有所了解？我有一个偷偷摸摸的怀疑，
t余弦会迅速波动，这会导致问题......？ - 是否存在更适合此类问题的现有 R 例程/程序包，有人可以指点我到一个合适的位置（在山上）开始攀登吗？
评论：
t是的，用作函数参数是不好的做法。- 我计算了
shape > 1使用 Maple 发布的结果的确切答案，以及被brute-force-integrate-by-the-definition-with-R踢的 Maple 的屁股。也就是说，我可以在几分之一秒内得到相同的答案（达到数值精度），而价格甚至更小。
编辑：
我打算写下我正在寻找的确切积分，但似乎这个特定站点不支持 MathJAX，所以我将提供链接。我正在寻找数值评估Weibull 分布的特征函数以获得合理的输入（无论这意味着什么）。该值是一个复数，但我们可以将其拆分为实部和虚部，这就是我所说的及以上。tRpIp
最后一条评论：维基百科列出了 Weibull cf 的公式（无限级数），并且该公式与我在上面引用的论文中证明的公式相匹配，但是，该级数仅被证明适用于shape > 1. 该案0 < shape < 1仍然是一个悬而未决的问题；有关详细信息，请参阅论文。