set - 幂集与集合的笛卡尔积

Question

如何明确地写出一个幂集与另一个集的笛卡尔积。

例如：P({a,b})x{a,b}

现在 P({a,b}) = {{},{a},{b},{a,b}}

所以我需要知道 {{},{a},{b},{a,b}}x{a,b}

Answer 1

让我们X成为一组。的幂集X定义为

P(X) := { S | S ⊆ X }

让X和Y成为集合。产品X × Y定义为

X × Y := { (x,y) | x ∈ X, y ∈ Y }

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现在让X和Y被设置。X我们将描述 的幂集的笛卡尔积Y：

P(X) × Y = { (S,y) | S ∈ P(X), y ∈ Y }

但当S ∈ P(X)且仅当S ⊆ X。这允许我们重写我们的产品

P(X) × Y = { (S,y) | S ⊆ P(X), y ∈ Y }

换句话说，P(X) × Y由有序对组成，其中第一个坐标是 的某个子集，X第二个坐标是 的一个元素Y。

Answer 2

1. 您的示例与您的问题不一致：

你问“如何明确地写出一个幂集与另一个集的笛卡尔积？”，然后你举个例子 P({a,b})x{a,b}，它是一个幂的笛卡尔积集合与相同的集合，即{a，b}。

2. 对于您的示例，正​​如您所说，您有：

P({a,b}) = {{},{a},{b},{a,b}}

再回忆一下两组笛卡尔积的定义：

E x F = {(e,f)，E 中的 e，F 中的 f}

然后通过应用这个定义：

P({a,b}) x {a,b} = {{},{a},{b},{a,b}} x {a,b} = {({}, a), ({ }, b), ({a}, a), ({a}, b), ({b}, a), ({b}, b), ({a,b}, a), ({a ,b}, b)}

然而，这种性质在任何具体情况甚至理论定理中都不太可能有用，因为我们几乎从来没有遇到过 {a} 和 a 被“平等”对待的情况（我的意思是，在同一个“级别”上）集合），尽管从数学的角度来看它是绝对正确的。