c++ - 使用浮点数的系列总和

Question

我计算了该系列的前 20 个元素——

在 2 种方式，第 1 前进，第 2 后退。为此我做了-

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

float sumSeriesForward(int elementCount) {
    float sum = 0;
    for (int i = 0; i < elementCount; ++i) {
        sum += (float) 1 / (pow(3, i));
    }
    return sum;
}

float sumSeriesBack(int elementCount) {
    float sum = 0;
    for (int i = (elementCount - 1); i >= 0; --i) {
        sum += (float) 1 / (pow(3, i));
    }
    return sum;
}

int main() {
    cout.precision(30);
    cout << "sum 20 first elements - forward: " << sumSeriesForward(20) << endl;
    cout << "sum 20 first elements - back: " << sumSeriesBack(20) << endl;
}

我得到了 -

sum 20 first elements - forward: 1.5000001192092896
sum 20 first elements - back: 1.5

有人可以解释为什么这两种方式之间有区别吗？

Answer 1

一般来说，浮点数不能准确地表示值。当您对值进行操作时，错误会传播。在您的示例中，当向后计算时，您将小值添加到更大的数字中，到目前为止，小数字的总和很有可能对更大的数字产生影响。另一方面，当您向前计算时，您从大数字开始，而较小的数字对其影响越来越小。也就是说，在求和时，您总是希望将最小到最大相加。

只需考虑将总和保持在固定位数。例如，保留 4 位数字并将这些数字从上到下和从下到上相加：

values   top to bottom   bottom to top
10.00      10.00            10.01
0.004      10.00            0.010
0.003      10.00            0.006
0.002      10.00            0.003
0.001      10.00            0.001

浮点数的工作方式相同，使用固定数量的 [二进制] 数字。

Answer 2

为了提高数字求和时的准确性，请考虑Kahan summation algorithm。与显而易见的方法（包括从最小到最大的数字相加）相比，这显着减少了错误。