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Mathematica 8 中的 DSolve[] 命令有问题。求解以下 4 阶微分方程会产生一个复杂的解，尽管它应该是一个真实的解。方程是：

y''''[x] + a y[x] == 0

手动求解这个方程会产生一个只有实部的解。所有常数和边界条件也是实数。

我手动得到的解决方案是：

y1[x_] = (C[5] E^(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1] x) + 
  C[6] E^(-(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1]) x)) Cos[
 Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1]
   x] + (C[7] E^(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1] x) + 
  C[8] E^(-(Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1]) x)) Sin[
 Power[a, (4)^-1]/Power[2, (2)^-1] x];

现在我必须求解常数 C[5]...C[8]。这会产生类似的问题。我使用带有边界条件的 Solve[] 命令

Solve[{y1''[-c] == ic0, y1''[c] == ic0 , y1'''[-c] == ic1 , 
y1'''[c] == - ic1 }, {C[5], C[6], C[7], C[8]} ];

如果使用 //Simplify，常数 C[5]...C[8] 现在为实数，如果使用 //FullSimplify，则为复数。

知道原因是什么吗？可以在以下位置下载带有我计算的笔记本：http: //dl.dropbox.com/u/4920002/DGL_4th_Order_with_own_solution.nb

在进一步的工作中，我必须使用 DSolve[] 并且我想在这里了解这个问题。

谢谢，

安德烈亚斯

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我认为你的一些陈述取决于细节。例如，C[]如果您选择，某些参数可以是复数a<0：

parS = Solve[{y1''[-c] == ic0, y1''[c] == ic0, y1'''[-c] == ic1, 
    y1'''[c] == -ic1}, {C[5], C[6], C[7], C[8]}] // Simplify;
parFS = Solve[{y1''[-c] == ic0, y1''[c] == ic0, y1'''[-c] == ic1, 
    y1'''[c] == -ic1}, {C[5], C[6], C[7], C[8]}] // FullSimplify

parS /. {a -> -2, c -> 10, ic0 -> 1, ic1 -> -1} // N
parFS /. {a -> -2, c -> 10, ic0 -> 1, ic1 -> -1} // N

(* {{C[5] -> -0.35876 - 2.498*10^-15 I,  C[6] -> -0.35876 - 2.498*10^-15 I, 
     C[7] -> 2.27596*10^-15 - 0.358762 I, C[8] -> -2.27596*10^-15 + 0.358762 I}}

   {{C[5] -> -0.35876 + 5.10703*10^-15 I, C[6] -> -0.35876 + 5.10703*10^-15 I, 
     C[7] -> 2.35922*10^-15 - 0.358762 I, C[8] -> -2.19269*10^-15 + 0.358762 I}} *)

除了这一点，您可以在一行中获得问题的解决方案，并且确实它似乎是一个真正的功能（除了数字）：

sol[a_, ic0_, ic1_, c_, x_] = y[x] /. DSolve[{y''''[x] + a y[x] == 0, y''[-c] == ic0, 
     y''[c] == ic0, y'''[-c] == ic1, y'''[c] == -ic1}, y[x], x][[1]] ;

Plot[Im[sol[-2.0, 1.0, -1.0, 10., x]], {x, -10., 10.}]
Plot[Re[sol[-2.0, 1.0, -1.0, 10., x]], {x, -10., 10.}]

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于 2012-09-04T08:11:05.043 回答
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由于您将问题交叉发布到Mathematica.SE，我在那里给出了答案。关键在于，即使 有一个实数和正值a，四阶微分方程的一般解也是复杂的。时期。如果您碰巧只对真正的解决方案感兴趣，则可以提取它们。

于 2012-09-05T14:09:29.453 回答