matlab - Matlab向量化：如何避免这个“for”循环？

Question

我有以下矩阵：

X=1 2 3  
Y=4 5 6  

A=1 2 3  
  4 5 6  
  7 8 9  

我想要做

for each (i,j) in A  
  v = A(i,j)*X - Y
  B(i,j) = v * v'

即 A 的每个元素乘以向量 X，然后结果向量从自身中减去 Y，最后我们取该向量的内积，得到一个数字。
可以在没有 for 循环的情况下完成吗？

Answer 1

在 Matlab 中经常忘记的一件事：运算符'取共轭转置（.'是普通的转置）。换句话说，A' == conj(trans(A))，而A.' == trans(A)，如果A是复数矩阵，则不同。

好的，让我们将一些数学应用到您的方程式中。我们有

v = A(i,j)*X - Y
B(i,j) = v * v'
       = (A(i,j)*X - Y) * (A(i,j)*X - Y)'
       = A(i,j)*X * conj(A(i,j))*X' - Y * conj(A(i,j))*X' 
         - A(i,j)*X * Y' + Y * Y'
       = A(i,j)*conj(A(i,j)) * X*X' - conj(A(i,j)) * Y*X' - A(i,j) * X*Y' + Y*Y'

所以第一个结果是

B = A.*conj(A) * (X*X') - conj(A) * (Y*X') - A * (X*Y') + Y*Y'

在实矩阵/向量的情况下，一个具有身份

X*Y' == Y*X'
A == conj(A)

这意味着，您可以将表达式简化为

B = A.*A * (X*X') - 2*A * (X*Y') + Y*Y'
  = A.^2 * (X*X') - 2*A * (X*Y') + Y*Y'

Answer 2

另一种方法：

X = [1 2 3]
Y = [4 5 6]
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

V = bsxfun(@minus, A(:)*X, [4 5 6])
b = sum((V.^2)')
B = reshape(b , 3, 3)

我得到结果：

B = 27     5    11
    45   107   197
   315   461   635