我有一个该Nelder-Mead方法可以解决的优化问题，但我也想使用BFGSNewton-Raphson 或采用梯度函数的方法来解决该问题，以获得更快的速度，并希望得到更精确的估计。optim我在/optimx文档中的示例之后（我认为）编写了这样一个渐变函数，但是当我将它与BFGS我的起始值一起使用时，要么不要移动（optim()），要么函数完全不运行（optimx()返回Error: Gradient function might be wrong - check it!）。很抱歉，复制此内容涉及一些代码，但这里有：
这是我想要获得参数估计的函数（这是为了平滑老年死亡率，其中 x 是年龄，从 80 岁开始）：
KannistoMu <- function(pars, x = .5:30.5){
a <- pars["a"]
b <- pars["b"]
(a * exp(b * x)) / (1 + a * exp(b * x))
}
这是一个对数似然函数，用于根据观察到的比率（定义为死亡、.Dx过度暴露、.Exp）来估计它：
KannistoLik1 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){
mu <- KannistoMu(exp(pars), x = .x.)
# take negative and minimize it (default optimizer behavior)
-sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE)
}
你看exp(pars)那里是因为我给log(pars)优化了，为了约束最终a和b积极。
示例数据（1962 年日本女性，如果有人好奇的话）：
.Dx <- structure(c(10036.12, 9629.12, 8810.11, 8556.1, 7593.1, 6975.08,
6045.08, 4980.06, 4246.06, 3334.04, 2416.03, 1676.02, 1327.02,
980.02, 709, 432, 350, 217, 134, 56, 24, 21, 10, 8, 3, 1, 2,
1, 0, 0, 0), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86",
"87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97",
"98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106",
"107", "108", "109", "110"))
.Exp <- structure(c(85476.0333333333, 74002.0866666667, 63027.5183333333,
53756.8983333333, 44270.9, 36749.85, 29024.9333333333, 21811.07,
16912.315, 11917.9583333333, 7899.33833333333, 5417.67, 3743.67833333333,
2722.435, 1758.95, 1043.985, 705.49, 443.818333333333, 223.828333333333,
93.8233333333333, 53.1566666666667, 27.3333333333333, 16.1666666666667,
10.5, 4.33333333333333, 3.16666666666667, 3, 2.16666666666667,
1.5, 0, 1), .Names = c("80", "81", "82", "83", "84", "85", "86",
"87", "88", "89", "90", "91", "92", "93", "94", "95", "96", "97",
"98", "99", "100", "101", "102", "103", "104", "105", "106",
"107", "108", "109", "110"))
以下适用于该Nelder-Mead方法：
NMab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)),
fn = KannistoLik1, method = "Nelder-Mead",
.Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
exp(NMab$par)
# these are reasonable estimates
a b
0.1243144 0.1163926
这是我想出的渐变函数：
Kannisto.gr <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){
a <- exp(pars["a"])
b <- exp(pars["b"])
d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx) /
(a ^ 3 * exp(2 * b * x) + 2 * a ^ 2 * exp(b * x) + a)
d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx) /
(a ^ 2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1)
-colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE)
}
输出是一个长度为 2 的向量，它是关于参数a和的变化b。通过利用 的输出，我也得到了一个更丑陋的版本deriv()，它返回相同的答案，并且我没有发布（只是为了确认导数是正确的）。
如果我optim()按如下方式提供它，BFGS作为方法，估计值不会从起始值移动：
BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)),
fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr, method = "BFGS",
.Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
# estimates do not change from starting values:
exp(BFGSab$par)
a b
0.1 0.1
当我查看$counts输出的元素时，它说它KannistoLik1()被调用了 31 次，而Kannisto.gr()只有 1 次。$convergence是0，所以我猜它认为它收敛了（如果我给出不太合理的开始，它们也会保持不变）。我降低了容忍度等，没有任何变化。当我尝试相同的调用optimx()（未显示）时，我收到上面提到的警告，并且没有返回任何对象。gr = Kannisto.gr使用"CG". _ 使用该"L-BFGS-B"方法，我得到了与估计相同的起始值，但据报道，函数和梯度都被调用了 21 次，并且有一条错误消息：
"ERROR: BNORMAL_TERMINATION_IN_LNSRCH"
我希望梯度函数的编写方式有一些小细节可以解决这个问题，因为后面的警告和optimx行为直言不讳地暗示该函数根本不正确（我认为）。我还尝试了包中的maxNR()最大化maxLik器并观察到类似的行为（起始值不移动）。谁能给我指点？非常感谢
[编辑] @Vincent 建议我与数值近似的输出进行比较：
library(numDeriv)
grad( function(u) KannistoLik1( c(a=u[1], b=u[2]), .Dx, .Exp ), log(c(.1,.1)) )
[1] -14477.40 -7458.34
Kannisto.gr(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp)
a b
144774.0 74583.4
如此不同的符号，并且相差 10 倍？我更改渐变功能以效仿：
Kannisto.gr2 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){
a <- exp(pars["a"])
b <- exp(pars["b"])
d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx) /
(a ^ 3 * exp(2 * b * x) + 2 * a ^ 2 * exp(b * x) + a)
d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx) /
(a ^ 2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1)
colSums(cbind(a=d.a,b=d.b), na.rm = TRUE) / 10
}
Kannisto.gr2(log(c(a=.1,b=.1)), .Dx, .Exp)
# same as numerical:
a b
-14477.40 -7458.34
在优化器中尝试：
BFGSab <- optim(log(c(a = .1, b = .1)),
fn = KannistoLik1, gr = Kannisto.gr2, method = "BFGS",
.Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
# not reasonable results:
exp(BFGSab$par)
a b
Inf Inf
# and in fact, when not exp()'d, they look oddly familiar:
BFGSab$par
a b
-14477.40 -7458.34
按照文森特的回答，我重新调整了梯度函数，并使用abs()而不是exp()保持参数为正。最新的、性能更好的目标函数和梯度函数：
KannistoLik2 <- function(pars, .Dx, .Exp, .x. = .5:30.5){
mu <- KannistoMu.c(abs(pars), x = .x.)
# take negative and minimize it (default optimizer behavior)
-sum(.Dx * log(mu) - .Exp * mu, na.rm = TRUE)
}
# gradient, to be down-scaled in `optim()` call
Kannisto.gr3 <- function(pars, .Dx, .Exp, x = .5:30.5){
a <- abs(pars["a"])
b <- abs(pars["b"])
d.a <- (a * exp(b * x) * .Exp + (-a * exp(b * x) - 1) * .Dx) /
(a ^ 3 * exp(2 * b * x) + 2 * a ^ 2 * exp(b * x) + a)
d.b <- (a * x * exp(b * x) * .Exp + (-a * x * exp(b * x) - x) * .Dx) /
(a ^ 2 * exp(2 * b * x) + 2 * a * exp(b * x) + 1)
colSums(cbind(a = d.a, b = d.b), na.rm = TRUE)
}
# try it out:
BFGSab2 <- optim(
c(a = .1, b = .1),
fn = KannistoLik2,
gr = function(...) Kannisto.gr3(...) * 1e-7,
method = "BFGS",
.Dx = .Dx, .Exp = .Exp
)
# reasonable:
BFGSab2$par
a b
0.1243249 0.1163924
# better:
KannistoLik2(exp(NMab1$par),.Dx = .Dx, .Exp = .Exp) > KannistoLik2(BFGSab2$par,.Dx = .Dx, .Exp = .Exp)
[1] TRUE
这个问题的解决速度比我预期的要快得多，而且我学到了不止几个技巧。谢谢文森特！