wolfram-mathematica - 使用mathematica从微分方程计算特征函数的特征值

Question

假设，我有一个像这样的微分方程：

mu1 u1[x] - u1''[x] - 10 u1[x] == 0 

其中 mu1 是特征值，u1 是特征函数。现在，我怎样才能以数字方式计算特征值 mu1 ？？？谁能帮我解决这个问题？？

Answer 1

我假设你想解决类似的问题

u1''[x] + 10 u1[x] == mu1 u1[x]

有边界条件

u1[x0] == 0; u1[x1] == 0; u1'[x0] =!= 0

对于一些x0 < x1. 一种方法是首先求解微分方程加上 处的边界条件x0，例如

sol = DSolve[{mu1 u1[x] - u1''[x] - 10 u1[x] == 0, u1[x0] == 0, u1'[x0] == 1}, u1, x][[1]]

作为输出

{u1 -> Function[{x}, -((E^(-Sqrt[-10 + mu1] x - Sqrt[-10 + mu1] x0) 
    (-E^(2 Sqrt[-10 + mu1] x) + E^(2 Sqrt[-10 + mu1] x0)))/(2 Sqrt[-10 + mu1]))]}

然后我们可以使用这个解决方案来找到满足mu1边界条件的条件x1：

sol1 = Solve[{u1[x1] == 0 /. sol[[1]], x1 > x0}, mu1, MaxExtraConditions -> All]

我们从中发现

{{mu1 -> ConditionalExpression[(10 x0^2 - 20 x0 x1 + 10 x1^2 - 4 \[Pi]^2 C[1]^2)/(
     x0^2 - 2 x0 x1 + x1^2), 
    x0 \[Element] Reals && C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 1 && x1 > x0]}, 
 {mu1 -> ConditionalExpression[(-\[Pi]^2 + 10 x0^2 - 20 x0 x1 + 10 x1^2 - 
     4 \[Pi]^2 C[1] - 4 \[Pi]^2 C[1]^2)/(x0^2 - 2 x0 x1 + x1^2), 
    x0 \[Element] Reals && C[1] \[Element] Integers && C[1] >= 0 && x1 > x0]}}