r - 给定一个随机变量样本和 n，我如何找到 n Xs 之和的 ecdf？

Question

我无法适应X一个共同的发行版，所以目前我只有X ~ ecdf(sample_data).

如何计算sum(X1 + ... + Xn), 给定的经验分布n？X1 到 Xn 是独立同分布的。

Answer 1

n要估计该总和的分布，您可以使用替换重复抽样（然后取总和）sample_data。（就像 ecdf 一样，sample()在 的每个元素上放置相等的概率质量sample_data，因此您不需要将计算ecdf(sample_data)作为中间步骤。）

# Create some example data
sample_data <- runif(100)

n <- 10
X <- replicate(1000, sum(sample(sample_data, size=n, replace=TRUE)))

# Plot the estimated distribution of the sum of n variates.
hist(X, breaks=40, col="grey", main=expression(sum(x[i], i==1, n)))
box(bty="l")

# Plot the ecdf of the sum
plot(ecdf(X))

Answer 2

首先，概括和简化：求解阶跃函数 CDF X 和 Y，独立但不同分布。对于每一步跳转 x _i和每一步跳转 y _{i ，在 X + Y 的 CDF 中都会在 x i} +y _i处有对应的一步跳转，所以 X + Y 的 CDF 将由列表表征：

sorted(x + y for x in X for y in Y)

这意味着如果 X 的 CDF 中有 k 个点，则(X ₁ + ... + X _{n ) 中将有 k} ⁿ个。我们可以通过再次丢弃除 k 之外的所有内容，在最后将其减少到一个可管理的数字，但显然中间计算在时间和空间上将是昂贵的。

另外，请注意，即使原始 CDF 是 X 的 ECDF，结果也不会是 (X ₁ + ... + X _n ) 的 ECDF，即使您保留所有 k ⁿ个点。

总之，使用 Josh 的解决方案。