java - 是否有任何“技巧”来加快对非常大的背包组合类型概率的采样？

Question

更新：我已经意识到由于涉及大量数据（15k+ 项），无法以当前形式回答以下问题。我刚刚发现，我要帮助的小组只是让它运行一个月，然后终止它以使用结果（这就是他们希望在更快的时间内获得更多结果的原因）。这对我来说似乎很疯狂，因为他们只使用前几组数据（大列表中的最后一项从未被使用过）。所以我正在修改这个问题以获得预期输出的样本（解决方案的近似值不是完整的解决方案）。在更短的时间内完成此任务的最佳方法是什么？他们似乎想要一个多样化的结果样本，是遗传算法起作用还是某种采样技术？问题的其余部分保持不变（相同的输入/输出），但我

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我的问题不完全是背包问题，但非常接近。基本上，我试图找到等于特定值的 X 项的每个组合。我从我的一个朋友那里听说了这个问题，他在一个小型学校研究实验室工作，这个过程在那里运行，大约需要 25 天才能完成。看起来真的很可怕，所以我主动提供帮助（对我有好处，我可以学习并帮助一些非常好的人），所以我想出了如何通过多线程来扩展它（我将包括下面的代码），这个将他们的处理时间缩短了几天，但我仍然不满意，所以我只是将我的代码移植到 GPU 上工作，但我并不满意（尽管他们很高兴，因为它更快，而且我捐赠了我的旧显卡）因为我只是利用硬件而不是任何算法。马上，

那么在这样的背景下，我能做些什么来加快算法速度吗？我的直觉告诉我不，因为因为他们需要每一种组合，所以从逻辑上讲，计算机必须处理每一种组合（数十亿），但我以前在这里看到了令人惊奇的事情，即使是很小的加速也可以在处理的天数内产生影响.

我喜欢超过 10 个版本的代码，但这里有一个使用多线程的 Java 版本（但它和 gpu 之间的逻辑几乎相同）。

基本逻辑：

for (int c = 100; c >= 0; c--) {
    if (c * x_k == current.sum) { //if result is correct then save
        solutions.add(new Context(0, 0, newcoeff));
        continue;
     } else if (current.k > 0) { //if result is not equal but not end of list then send to queue
         contexts.add(new Context(current.k - 1, current.sum - c * x_k, newcoeff));
     }
 }

完整代码：

import java.util.Arrays;
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;
import java.util.concurrent.ConcurrentLinkedQueue;
import java.util.concurrent.LinkedBlockingDeque;
import java.util.concurrent.Callable;
import java.util.concurrent.ExecutorService;
import java.util.concurrent.ThreadPoolExecutor;
import java.util.concurrent.TimeUnit;

public class MixedParallel
{
    // pre-requisite: sorted values !!
    private static final int[] data = new int[] { -5,10,20,30,35 };

    // Context to store intermediate computation or a solution
    static class Context {
        int k;
        int sum;
        int[] coeff;
        Context(int k, int sum, int[] coeff) {
            this.k = k;
            this.sum = sum;
            this.coeff = coeff;
        }
    }

    // Thread pool for parallel execution
    private static ExecutorService executor;
    // Queue to collect solutions
    private static Queue<Context> solutions;

    static {
        final int numberOfThreads = 2;
        executor =
            new ThreadPoolExecutor(numberOfThreads, numberOfThreads, 1000, TimeUnit.SECONDS,
                                   new LinkedBlockingDeque<Runnable>());
        // concurrent because of multi-threaded insertions
        solutions = new ConcurrentLinkedQueue<Context>();
    }


    public static void main(String[] args)
    {
        System.out.println("starting..");
        int target_sum = 100;
        // result vector, init to 0
        int[] coeff = new int[data.length];
        Arrays.fill(coeff, 0);
        mixedPartialSum(data.length - 1, target_sum, coeff);

        executor.shutdown();
        // System.out.println("Over. Dumping results");
        while(!solutions.isEmpty()) {
            Context s = solutions.poll();
            printResult(s.coeff);
        }
    }

    private static void printResult(int[] coeff) {
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        for (int i = coeff.length - 1; i >= 0; i--) {
            if (coeff[i] > 0) {
                sb.append(data[i]).append(" * ").append(coeff[i]).append(" + ");
            }
        }
        System.out.println(sb);
    }

    private static void mixedPartialSum(int k, int sum, int[] coeff) {
        int x_k = data[k];
        for (int c = 0; c <= 100; c++) {
            coeff[k] = c;
            int[] newcoeff = Arrays.copyOf(coeff, coeff.length);
            if (c * x_k == sum) {
                //printResult(newcoeff);
                solutions.add(new Context(0, 0, newcoeff));
                continue;
            } else if (k > 0) {
                if (data.length - k < 2) {
                    mixedPartialSum(k - 1, sum - c * x_k, newcoeff);
                    // for loop on "c" goes on with previous coeff content
                } else {
                    // no longer recursive. delegate to thread pool
                    executor.submit(new ComputePartialSum(new Context(k - 1, sum - c * x_k, newcoeff)));
                }
            }
        }
    }

    static class ComputePartialSum implements Callable<Void> {
        // queue with contexts to process
        private Queue<Context> contexts;

        ComputePartialSum(Context request) {
            contexts = new ArrayDeque<Context>();
            contexts.add(request);
        }

        public Void call() {
            while(!contexts.isEmpty()) {
                Context current = contexts.poll();
                int x_k = data[current.k];
                for (int c = 0; c <= 100; c++) {
                    current.coeff[current.k] = c;
                    int[] newcoeff = Arrays.copyOf(current.coeff, current.coeff.length);
                    if (c * x_k == current.sum) {
                        //printResult(newcoeff);
                        solutions.add(new Context(0, 0, newcoeff));
                        continue;
                    } else if (current.k > 0) {
                        contexts.add(new Context(current.k - 1, current.sum - c * x_k, newcoeff));
                    }
                }
            }
            return null;
        }
    }
}

以下是数据/方法的一些特征：

• 所有数字都是短裤（似乎没有数字超过 +/- 200 的值）
• 有重复项（但没有零值）
• for 循环将系数限制为 100（这是一个硬数字，并告诉它不会改变）。这限制了结果
• 项目数量有限制，但它是可变的，由我的朋友实验室决定。我一直在使用 2 对组合进行测试，但我的朋友告诉我他们使用 30-35 对（这不是涉及整个数据集的组合）。这也限制了结果失控
• 我的朋友提到他们所做的后处理涉及删除所有包含少于 30 个系数或超过 35 个系数的结果。在我当前的代码中，如果newcoeff变量超过一个数字（在本例中为 35），我会中断，但也许有一种方法甚至不处理结果低于 30。这可能是减少处理时间的一个大领域。现在看来，他们生成了大量无用的数据来获取他们想要的数据。
• 他们的数据集是 10k-15k 个项目（负/正）
• 我只收到 3 个项目，两个列表（一个数据和一个用于识别数据的 ID 号）和一个目标总和。然后我保存一个包含该列表中所有数据组合的文件。
• 我愿意在这里提供帮助，因为这部分花费了最长的时间，在数据传到我这里之前，他们会对其进行处理（尽管他们自己不会生成数据），一旦我将文件发送给他们，他们就会对其应用自己的逻辑并进行处理它。因此，我唯一关注的是获取 3 个输入并生成输出文件。
• 使用线程和 GPU 已将问题减少到在一周内完成，但我在这里寻找的是改进算法的想法，以便我可以利用软件而不仅仅是硬件 gpu 来提高速度。从代码中可以看出，它现在只是蛮力。所以理想情况下，我想要可以线程化的建议。

更新2：我认为问题本身很简单/很常见，但问题是大规模运行，所以这是我在进行测试时得到的真实数据（它没有它得到的那么大，但它大约有 3,000 个项目，所以如果你想测试您不必自己生成它）：

private static final int target_sum = 5 * 1000;
private static final List<Integer> data = Arrays.asList( -193, -138, -92, -80, -77, -70, -63, -61, -60, -56, -56, -55, -54, -54, -51, -50, -50, -50, -49, -49, -48, -46, -45, -44, -43, -43, -42, -42, -42, -42, -41, -41, -40, -40, -39, -38, -38, -38, -37, -37, -37, -37, -37, -36, -36, -36, -35, -34, -34, -34, -34, -34, -34, -34, -33, -33, -33, -32, -32, -32, -32, -32, -32, -32, -32, -31, -31, -31, -31, -31, -31, -31, -30, -30, -30, -30, -30, -29, -29, -29, -29, -29, -29, -29, -29, -29, -28, -28, -28, -28, -27, -27, -27, -27, -26, -26, -26, -26, -26, -26, -25, -25, -25, -25, -25, -25, -25, -25, -24, -24, -24, -24, -24, -24, -24, -24, -24, -24, -23, -23, -23, -23, -23, -23, -23, -23, -22, -22, -22, -22, -22, -22, -22, -22, -22, -21, -21, -21, -21, -21, -21, -21, -20, -20, -20, -20, -20, -20, -20, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -19, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -18, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -17, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -16, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -15, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -14, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -13, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -11, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -9, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -8, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -7, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -6, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -5, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -4, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -3, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -1, -1, -1, -1, -1, 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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 38, 39, 39, 39, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 47, 48, 48, 49, 49, 50, 54, 54, 54, 55, 55, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 60, 66, 67, 68, 70, 72, 73, 73, 84, 84, 86, 92, 98, 99, 105, 114, 118, 120, 121, 125, 156);

我正在学习编程和算法，所以如果我遗漏了任何东西或没有意义的东西，请告诉我。请注意，我知道由于数据量大，这似乎是不可能的，但事实并非如此（我已经看到它运行并且它的变体已经运行了多年）。请不要让规模分散真正的问题，如果您使用 10 个变量并且它比我的 10 个变量蛮力快 10%，那么我相信它会在更大的数据上更快。我不是想把灯关掉，我在寻找可以提供更快结果的小改进（或更大的设计改进）。另外，如果有任何假设需要放松，请告诉我。

Answer 1

这使用动态编程来解决您在示例中给出的相同问题。它已更新为通过跟踪值的索引而不是其值来处理重复值，并更正了忽略某些解决方案的错误。

public class TurboAdder {
    private static final int[] data = new int[] { 5, 10, 20, 25, 40, 50 };

    private static class Node {
        public final int index;
        public final int count;
        public final Node prevInList;
        public final int prevSum;
        public Node(int index, int count, Node prevInList, int prevSum) {
            this.index = index;
            this.count = count;
            this.prevInList = prevInList;
            this.prevSum = prevSum;
        }
    }

    private static int target = 100;
    private static Node sums[] = new Node[target+1];

    // Only for use by printString.
    private static boolean forbiddenValues[] = new boolean[data.length];

    public static void printString(String prev, Node n) {
        if (n == null) {
            System.out.println(prev);
        } else {
            while (n != null) {
                int idx = n.index;
                // We prevent recursion on a value already seen.
                if (!forbiddenValues[idx]) {
                    forbiddenValues[idx] = true;
                    printString((prev == null ? "" : (prev+" + "))+data[idx]+"*"+n.count, sums[n.prevSum]);
                    forbiddenValues[idx] = false;
                }
                n = n.prevInList;
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        for (int i = 0; i < data.length; i++) {
            int value = data[i];
            for (int count = 1, sum = value; count <= 100 && sum <= target; count++, sum += value) {
                for (int newsum = sum+1; newsum <= target; newsum++) {
                    if (sums[newsum - sum] != null) {
                        sums[newsum] = new Node(i, count, sums[newsum], newsum - sum);
                    }
                }
            }
            for (int count = 1, sum = value; count <= 100 && sum <= target; count++, sum += value) {
                sums[sum] = new Node(i, count, sums[sum], 0);
            }
        }
        printString(null, sums[target]);

    }
}

Answer 2

您要解决的问题称为数字分区。这是背包问题的一个特例。如果这些值都是整数并且您试图获得值 M，那么您可以在 O(n*M) 时间内找到一个解决方案。枚举所有组合可能是指数的，因为可能存在指数数量的解决方案。

Answer 3

要使用动态规划解决此问题，所有成本都必须是非负整数，并且您需要一个数组，只要您尝试实现的总成本 - 数组的每个元素都对应于由其偏移量表示的成本的解决方案在数组中。由于您需要所有解决方案，因此数组的每个元素都应该是解决方案的最后一个组件的列表。您可以通过要求解决方案的最后一个组件的成本至少与解决方案的任何其他组件一样多来减小此列表的大小。

鉴于此，一旦您将数组填充到长度为 N，则通过考虑其 100 个多重性中的每一个的每个可能项来填充条目 N+1。对于每个这样的项目，您从 N+1 中减去（多重乘以成本），并看到要获得 N+1 的总成本，您可以使用该项目加上成本 N+1-thisCost 的任何解决方案。因此，您查看数组 - 回到您已经填写的条目 - 看看是否有 N+1-thisCost 的解决方案，如果有，以及当前的成本*多重性是否至少与某个项目一样高在数组[N+1-thisCost] 中，您可以在偏移量 N+1 处为 item、multiplicity 添加一个条目。

一旦您将数组扩展到您的目标成本，您就可以从 array[finalCost] 处理后备词，查看那里的答案并减去它们的成本以找出要查看的 array[finalCost - costOfAnswerHere] 以找到完整的解决方案。

这个解决方案没有明显的并行版本，但有时动态编程的加速足够好，它可能仍然更快——在这种情况下，很大程度上取决于最终成本有多大。

这与普通的动态编程有点不同，因为您想要每个答案 - 希望它仍然会给您带来某种优势。想一想，最好在数组中简单地设置一个可能/不可能标志，说明该数组的偏移是否有解决方案，然后在回溯时重复检查可能的组合。

Answer 4

如果您不需要详尽而精确的解决方案，您可以尝试近似问题。然后程序将以伪多项式甚至多项式时间运行。

见http://en.m.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Approximation_algorithms

Answer 5

给出的样本数据中有 137 个唯一值（忽略重复）。

如果您承认可以通过调整系数将随机从数据中提取的 30 个不同值的几乎任何组合按摩成至少一个有效的解决方案，那么必须至少有 C(137,30)=1.54E30 个解决方案，恰好有 30 个术语（以及另一个 5.31E30 有 31 个术语，1.76E31 有 32 个术语，5.60E31 有 33 个术语等）。

因此，如果您的目标只是对有效解决方案的抽样，而不是不可能的详尽列表，那么我认为理想的方法是随机选择您的目标项数，然后调整它们的系数以达到目标值以产生单个样品，并重复所需数量的样品。

下面是一个应用这种技术的程序。在我相当普通的笔记本电脑（1.3Ghz AMD E-300）上，我在 2.249 秒内生成了 15000 个独特的解决方案，目标是每个样本 32 个术语。

import java.util.Arrays;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import java.util.Map.Entry;
import java.util.Random;
import java.util.TreeMap;

public class ComboGen {

    private static final int[] data = { -193, -138, -92, -80, -77, -70, -63, -61, -60, -56, -56, -55, -54, -54, -51, -50, -50,
            -50, -49, -49, -48, -46, -45, -44, -43, -43, -42, -42, -42, -42, -41, -41, -40, -40, -39, -38, -38, -38, -37, -37,
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            8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,
            9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,
            10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,
            10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11,
            11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12,
            12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13,
            13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14,
            14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15,
            15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16,
            16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18, 18,
            18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21,
            21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24,
            24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26,
            26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30,
            30, 30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 32, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 35, 35, 36, 36, 36,
            36, 37, 37, 38, 39, 39, 39, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 47, 48, 48, 49, 49, 50, 54,
            54, 54, 55, 55, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 60, 66, 67, 68, 70, 72, 73, 73, 84, 84, 86, 92, 98, 99,
            105, 114, 118, 120, 121, 125, 156 };

    private static Map<Integer, Integer> buildCounts(int[] rawData) {
        Map<Integer, Integer> buckets = new TreeMap<Integer, Integer>();
        int i = 0;
        for (i = 0; i < rawData.length; i++) {
            if (buckets.containsKey(rawData[i])) {
                buckets.put(rawData[i], buckets.get(rawData[i]) + 1);
            } else {
                buckets.put(rawData[i], 1);
            }
        }
        weights = new int[buckets.size()];
        counts = new int[buckets.size()];
        i = 0;
        for (Entry<Integer, Integer> entry : buckets.entrySet()) {
            weights[i] = entry.getKey();
            counts[i] = entry.getValue();
            i++;
        }
        return buckets;
    }

    private static int[] weights;
    private static int[] counts;
    private static Random random = new Random(System.nanoTime());

    private static int[] placeChips(int[] chips, int targetPairs) {
        int unplaced = targetPairs;
        int[] placements = new int[unplaced];
        Arrays.fill(chips, 0);
        if (unplaced > chips.length) {
            throw new IllegalStateException("Coefficient pairs must not exceed unique data values.");
        }
        while (unplaced > 0) {
            int idx = random.nextInt(counts.length);
            if (chips[idx] == 0) {
                chips[idx] = 1 + random.nextInt(100);
                unplaced--;
            }
        }
        int ppos = 0;
        for (int cpos = 0; cpos < chips.length; cpos++) {
            if (chips[cpos] > 0) {
                placements[ppos++] = cpos;
            }
        }
        return placements;
    }

    static int sum(int[] chips) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < chips.length; i++) {
            sum += weights[i] * chips[i];
        }
        return sum;
    }

    public static void adjustFactors(int[] chips, int[] placements, int target) {
        int sum = sum(chips);
        Map<Integer, Integer> weightIdx = new HashMap<Integer, Integer>();
        for (int placement : placements) {
            weightIdx.put(weights[placement], placement);
        }
        while (sum != target) {
            // System.out.print(sum + ",");
            int idx = 0;
            if ((sum > target) && weightIdx.containsKey(sum - target) && (chips[weightIdx.get(sum - target)] > 1)) {
                idx = weightIdx.get(sum - target);
            } else if ((sum < target) && weightIdx.containsKey(sum - target) && (chips[weightIdx.get(sum - target)] > 1)) {
                idx = weightIdx.get(sum - target);
            } else if ((sum > target) && weightIdx.containsKey(target - sum) && chips[weightIdx.get(target - sum)] < 100) {
                idx = weightIdx.get(target - sum);
            } else if ((sum < target) && weightIdx.containsKey(target - sum) && chips[weightIdx.get(target - sum)] < 100) {
                idx = weightIdx.get(target - sum);
            } else {
                idx = placements[random.nextInt(placements.length)];
            }
            int weight = weights[idx];
            if (sum < target) {
                if (weight > 0 && chips[idx] < 100) {
                    chips[idx]++;
                    sum += weight;
                } else if (weight < 0 && chips[idx] > 1) {
                    chips[idx]--;
                    sum -= weight;
                }
            } else {
                if (weight > 0 && chips[idx] > 1) {
                    chips[idx]--;
                    sum -= weight;
                } else if (weight < 0 && chips[idx] < 100) {
                    chips[idx]++;
                    sum += weight;
                }
            }
        }
    }

    private static String oneRandomSet(int targetSum, int targetPairs) {
        int[] chips = new int[counts.length];
        int[] placements = placeChips(chips, targetPairs);
        adjustFactors(chips, placements, targetSum);
        int sum = sum(chips);
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        for (int placement : placements) {
            sb.append(weights[placement]);
            sb.append(" * ");
            sb.append(chips[placement]);
            sb.append(" + ");
        }
        sb.setLength(sb.length() - 2);
        sb.append(" = ");
        sb.append(sum);
        sb.append("\n");
        return sb.toString();
    }

    public static void main(String[] ARGV) {
        int targetSum = 5000;
        int targetPairs = 32;
        int targetResults = 15000; // Produce this many solutions
        buildCounts(data);
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        long timer = System.nanoTime();
        for (int i = 0; i < targetResults; i++) {
            sb.append(oneRandomSet(targetSum, targetPairs));
        }
        double seconds = (System.nanoTime() - timer) / 1000000000d;
        double millisPerSol = 1000 * seconds / targetResults;
        System.out.println(sb.toString());
        System.out.println(String.format("%d solutions in %1.3f seconds @ %1.3f millis per sol", targetResults, seconds,
                millisPerSol));
    }

}

Answer 6

你可能想检查一下“动态编程”的概念，动态编程与普通递归不同，主要是节省大量时间；因为它通过以二维数组的形式保存它们来避免重新计算值，所以本教程可能会对您有所帮助

注意：背包问题被认为是动态规划的入门问题，搜索“背包动态规划”会帮助你更多

Answer 7

I may be wrong but could this be viewed as a integer partition (was Triangle number, but I remembered I misremembered ) problem?

If that's the case, each entry would have a membership to a set of results for a given sum. Precalculating and caching the membership results for a given sum (yes a huge table) could form a very quick solution.

I could probably do it, but I'd need a large data set. Interesting though...

Consult the guru Knuth http://cs.utsa.edu/~wagner/knuth/fasc3b.pdf

Answer 8

编辑：我保留这个答案（至少现在）以保留评论线程

好的，我很困惑，但无论如何我都会发布我的想法，如果我错了，稍后编辑/删除它们。如果我真的离题很远，你可以这么说，我会删除整个答案。

首先，在我看来，由于零是一个有效的数据值，并且零适用于所有位置，因此您在计算所有这些组合时会遇到额外的麻烦。更糟糕的是，在我看来，您的算法有一个实际错误，因为它会错过一些组合，其中列表开头的项目组合总和为零，因为一旦找到项目组合，您就会终止该调查线程产生目标总和的列表的末尾。

接下来，在我看来，对于列表中的每个项目，您都在尝试 100 个（实际上是 101 个）不同的值：x*100、x*99、...、x*0。如果我是对的，那么问题空间的大小是 100^n，其中 n 是数据元素的数量。对于 n=100 更不用说 n=10,000，您无法检查它。您的程序甚至可能终止的唯一方法是因为您在列表末尾找到总和并终止这些调查线程。（哦，对了，现在你告诉我，当非零系数的元素数量超过 3、没有 50、没有 60、没有某个变量数时，你会终止线程。问题空间仍然太大。）

事实上，据我统计，您的测试数据有 283 个零。因此，您可以将这些数据元素乘以 [1,100] 的 100^283 个组合添加到您获得的任何其他答案中。假设宇宙中的粒子数量估计为 10^80，100^283 种组合将不可能打印在纸上。

否则我搞错了。如果是这样，请提示我。

Answer 9

您的代码与您的问题陈述不匹配，因此不清楚如何继续。

您说数据列表包含负值并包含重复项。你举一个例子，两者兼而有之。实际上，这些值仅限于 [-200,200] 范围内的非零整数，但数据列表至少为 2,000，通常为 10,000 或更多，因此必须有重复项。

让我们回顾一下您的“基本逻辑”：

for (int c = 100; c >= 0; c--) {
    if (c * x_k == current.sum) { //if result is correct then save
        solutions.add(new Context(0, 0, newcoeff));
        continue;
     } else if (current.k > 0) { // recurse with next data element
         contexts.add(new Context(current.k - 1, current.sum - c * x_k, newcoeff));
     }
}

在其他地方，您声明数据必须按数字顺序排序，并且您从列表的尾部开始，k = n -1（因为零索引），所以您首先从最大的开始。该then子句终止递归。虽然这在您正在解决的问题中可能很好，但这不是您所描述的问题，因为它忽略了总和为零的较小数据值的所有组合。

另一方面，将包括所有总和为零的较大值的组合。

例如，让我们看一下示例列表中的最后一项，156，目标总和为 5000。

156 * 100 = 15600 所以在你输入负数之前它不会匹配目标总和。当然

(100 * -100) + (100 * -6) + (100 * 156) = 5000

这种组合有效。（您的示例数据集不包括 -100，但它确实有两个 -40 和一个 -20，因此如果您想忠实于数据集，请将它们组合起来。我使用 -100 来保持示例简单因为你说数据集可能包括-100。）

但是当然

(100 * -100) + (100 * -6) + (c * -1) + (c * 1) + (100 * 156) = 5000 

对于任何 c，因此输出中将有 100 个这样的组合（1 <= c <= 100）。但是数据集中有 50 个。当你达到 100 * 50 = 5000 时，你会终止递归，所以你永远不会得到

(c * -1) + (c * 1) + (100 * 50) = 5000 

因此，您的代码或问题陈述都有问题。可能两者兼而有之，因为即使不考虑系数，10,000 个项目一次取 60 个会产生大约 10^158 个组合，但除了递归的提前终止之外，我认为没有任何东西可以阻止您测试所有这些组合的总和，即使计算值的成本为零，您也无法进行那么多比较。