function - Mathematica 对一组点进行积分以获得函数的解析形式

Question

我有以下问题 - 我需要在 Mathematica 中集成这样的功能（我无法发布图像，所以我以乳胶形式编写它）：

G(r)= \int_{0}^{\infty} dq f(q)*q*sin(qr)/r

获得依赖于 r 的函数 G(r)。不过我不知道 f(q) 的解析形式，而是我有一组 f(q) 和 q 的值。所以我想进行某种数值积分，但之后接收的不是一个值，而是 G(r) 的曲线。

Answer 1

如果你知道函数的解析形式，f[q]你可以这样做：

Integrate[f[q] q Sin[q r]/r, {q, 0, Infinity}]

但是如果只知道你的值f[q]可以进行数值积分：

G[r_]:= NIntegrate[ f[q] q Sin[q r]/r, {q, 0, Infinity}]

假设例如

f[q_] := Exp[-q]
Integrate[f[q] q Sin[q r]/r, {q, 0, Infinity}]

产量

ConditionalExpression[2/(1 + r^2)^2, Abs[Im[r]] < 1]   

您可以先验地做出假设，例如：

Assuming[r > 0, Integrate[f[q] q Sin[q r]/r, {q, 0, Infinity}]]

产量

2/(1 + r^2)^2

假设r > 0你隐含地假设r是真实的，所以Im[r] == 0. 有了这个函数G[r]，我们可以绘制适当的曲线，定义f[q]如上：

Plot[ G[r], {r, 0, 10}]