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假设您生成一个 N 位字符串（仅由 1 和 0 组成）。所有这些 0 和 1 的总和是 X。如果 N 为奇数，X 为奇数的概率是多少？如果 N 为偶数，X 为奇数的概率是多少？

由于任何位为 0 或 1 的可能性是 50%，我只假设两个答案都是 50%。但是，我不认为这是完全正确的。我能得到一些关于如何解决这个问题的想法吗？任何帮助将不胜感激。

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题外话，但我会咬：

有多少个可能的长度为 N 的字符串？其中有多少位和是偶数？其中有多少具有奇数位和？

换句话说，假设有a偶数长度（N-1）个字符串和b奇数长度（N-1）个字符串。要形成长度为 N 的字符串，请附加 0 或 1。这会产生a+b偶数字符串和a+b奇数字符串。

于 2012-05-02T21:30:18.080 回答
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X 是奇数的概率为50% 。

如果 N 为 1，则唯一可能的字符串是 0 和 1，因此 X 有 50% 的可能性是奇数。

N=2 时可能出现的字符串是 N=1 加上 0 或 1 的字符串：00、01、10、11。由于 N=1 的几率已经是 50%，而数字的几率是 50%添加后，N=2 的几率为 50%。

于 2012-05-02T22:15:56.440 回答
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你的直觉是对的。也许正式看到这一点可能很有用。

这些比特为 0 和 1，概率为 1/2，是参数 p=1/2 的伯努利分布的随机变量。参数的 N 个独立伯努利随机变量的总和遵循（根据定义）具有参数 (N,p) 的二项式分布。因此，您的总和是带有参数 (N,1/2) 的二项式分布。

请参阅维基百科关于二项分布的页面。

现在这个数字是（比如说）偶数的概率 P 是：

P = Sum[Binomial[n,k]*1/2^n,k=all even values between 0 and n]

P = Sum[Binomial[n, 2 k]*1/2^n, k=0..Floor[n/2]]

P = 1/2 * Sum[Binomial[Floor[n/2],k]*1/2^n, k=0..Floor[n/2]]

众所周知，这个总和等于一（这是牛顿的二项式公式），所以你只剩下

P = 1/2

这个问题在Math StackExchange上会更合适，我的意思是我可以在答案中使用 LaTeX :)

于 2012-05-08T19:37:09.873 回答