algorithm - 如何解决共享同一中心的垂直椭圆系统？

Question

我正在编写的程序需要找到两个椭圆的交点，两个椭圆都是垂直的并且共享同一个中心。我只需要四个中的第一个解决方案。

我可以用来解决这个问题的值是每个椭圆的垂直和水平分量的半径，或者如果您使用椭圆的标准方程，则为“a”和“b”值。我以前解决过圆锥非线性系统，但我不知道如何将代数思想转化为算法。

这似乎相对简单，但我完全被卡住了。抱歉，如果这是一个愚蠢的问题，但我仍然希望得到答案。

Answer 1

假设您以椭圆中心位于原点的方式移动坐标系。然后你的两个椭圆都可以用一个规范方程来描述：

其中a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂是椭圆的各自参数。

剩下的唯一一件事就是求解这个方程组。例如，Wolfram|Alpha可以为您完成（这里我用c代替a ₂和d代替b ₂）。

假设您的椭圆很重要，一对可能的解决方案是：

还有其他对，它们在根之前有不同的 +/- 符号。

Answer 2

为你的两对 (a,b)取椭圆方程，(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1将 y^2 向右分解，并使左侧相等：

(x*b1/a1)^2 - b1^2 = y^2   (1)
(x*b2/a2)^2 - b2^2 = y^2

这简化为：

(x*b1/a1)^2 - b1^2 = (x*b2/a2)^2 - b2^2 

x 的二次方程，最多可以给出两个实数解 (x1,x2)。插入 x1 的椭圆方程 (1) 将为您提供两个 y 值（我们将它们命名为 y1、y2）。您的解决方案是：

(x1, y1)
(x1, y2)
(x2, y1)
(x2, y2)

当然，交点可以少一些，但是很容易确定，因为有些二次方程会有复杂的解。