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我正在以编程方式计算给定音符的频率。

快速介绍：

  • 音符A4的频率为440Hz
  • 高一个八度的音符是低八度中相同音符的频率的两倍（所以A3是 220Hz，A2是 110Hz）
  • 一个音符与下一个半音之间的差异是对数 2 到 12 分之一。
  • C3 = B3 x 2 ^ (1/12)

用 Ruby 编写这个公式，我想出了以下内容：

# Starting from the note A4 (440Hz)
A4 = 440.to_f
# I want the frequencies of each note over the next 3 octaves
number_of_octaves = 3
# There are 12 semitones per octave
SEMITIONES_PER_OCTAVE = 12

current_freq = A4
(number_of_octaves * SEMITIONES_PER_OCTAVE).times do |i|
  puts "-----" if i % 12 == 0 # separate each octave with dashes
  puts current_freq
  current_freq = current_freq * 2 ** Rational('1/12')
end

我得到的结果并不完美。A 音符的四舍五入似乎比预期的要高一点：

-----
440.0
466.1637615180899
493.8833012561241
523.2511306011974
554.3652619537443
587.3295358348153
622.253967444162
659.2551138257401
698.456462866008
739.988845423269
783.9908719634989
830.6093951598906
-----
880.0000000000003
932.3275230361802
987.7666025122486
1046.502261202395
1108.7305239074888
1174.6590716696307
1244.5079348883241
1318.5102276514804
1396.9129257320162
1479.9776908465383
1567.981743926998
1661.2187903197814
-----
1760.000000000001
1864.6550460723606
1975.5332050244976
2093.0045224047904
2217.4610478149784
2349.3181433392624
2489.0158697766497
2637.020455302962
2793.825851464034
2959.9553816930784
3135.963487853998
3322.4375806395647

请注意 A 频率 - 不是 880、1760，而是略高一些。

我认为 Ruby 的Rational应该提供准确的计算并避免使用浮点数造成的舍入错误。

谁能解释一下：

  1. 为什么这个结果不准确？
  2. 如何改进上述代码以获得真正准确的结果？
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3 回答 3

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我不清楚是否在这个表达式中：current_freq * 2 ** Rational('1/12')Ruby 将整个计算保留在 Rational 领域。在 Ruby 中，您可以获得：

2.0.0p195 :001 > current_freq = 440
 => 440
2.0.0p195 :002 >  current_freq * 2 ** Rational('1/12')
 => 466.1637615180899

计算产生一个浮点数，而不是一个 Rational。如果我们保持 Rational，它看起来像：

2.0.0p195 :005 > Rational( current_freq * 2 ** Rational('1/12'))
 => (4100419809895505/8796093022208)

即使你这样做：

2.0.0p195 :010 > Rational(2) ** Rational(1,12)
 => 1.0594630943592953

Ruby 从 Rational 转向浮动。Rational 上的 Ruby 文档没有清楚地描述这一点，但给出的示例显示了将有理数转换为不是整数的小数指数时的情况。这是有道理的，因为当您将有理数转换为有理（分数，非整数）指数时，您很可能会得到一个无理数。2**(1/12)就是其中一种情况。

因此，为了保持准确性，您需要将所有内容都保持在 Rational 领域中，一旦您遇到无理数，这实际上是不可能的。正如 Scott Hunter 建议的那样，您可以使用一些自定义函数来缩小范围以控制不准确性。目前还不清楚在这种情况下这是否值得付出努力。

于 2014-01-09T12:17:01.257 回答
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要回答您问题的第二部分：

如何改进上述代码以获得真正准确的结果？

您可以使用f = 2 n/12 × 440计算频率：

def freq(n)
  2 ** (n/12.0) * 440
end

puts (0..12).map { |n| freq(n) }

输出：

440.0
466.1637615180899
493.8833012561241
523.2511306011972
554.3652619537442
587.3295358348151
622.2539674441618
659.2551138257398
698.4564628660078
739.9888454232688
783.9908719634985
830.6093951598903
880.0
于 2014-01-09T14:37:16.670 回答
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虽然我确定它准确地表示 1/12（作为分数），但一旦将其用作指数，您就回到了浮点数，并且有可能获得四舍五入的回报。

我想您编写自己的幂函数，它检查指数是否为整数并明确使用乘法；至少会照顾你的A。

于 2014-01-09T12:16:39.937 回答